Question

如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O，BE平分∠DBC交AC于F，交DC于E，求證：OF=

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DE．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,等腰三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：作OG∥AB交BE于點(diǎn)G，則OG是△BDE的中位線，根據(jù)正方邊形的性質(zhì)求得∠AFB和∠ABF的度數(shù)，即可證明OG=OF，據(jù)此即可證得．

解答：證明：作OG∥AB交BE于點(diǎn)G．
∵O是BD的中點(diǎn)，
∴OG是△BDE的中位線，
∴OG=

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DE，
∵正方形ABCD中，∠ABD=∠DBC=45°，
又BE是∠DBC的平分線，
∴∠ABF=45°+

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×45°=67.5°．
∵AB∥OG，
∴∠OGF=∠ABF=67.5°，
又∵在△ABF中，∠BAF=45°，
∴∠AFB=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠OGF=∠AFB，
∴OF=OG，
∴OF=

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DE．

點(diǎn)評(píng)：本題是正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理以及等腰三角形的判定定理的綜合應(yīng)用，正確作出輔助線是關(guān)鍵．