Question

如圖，在第一象限內(nèi)作與x軸的夾角為30°的射線OC，在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x軸于點H．在拋物線y=x²（x＞0）上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的坐標是    ．

Answer 1

【答案】分析：此題應分四種情況考慮：
①∠POQ=∠OAH=60°，此時A、P重合，可聯(lián)立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點坐標；
②∠POQ=∠AOH=30°，此時∠POH=60°，即直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式可得P點坐標，進而可求出OQ、PQ的長，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點A的坐標．
③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時，此時△QOP≌△AOH；
④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時△OQP≌△AOH；
解答：解：①當∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH=30°，
所以直線OA：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：，
解得，；
故A（，）；

②當∠POQ=∠AOH=30°，此時△POQ≌△AOH；

易知∠POH=60°，則直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：，
解得，；
故P（，3），那么A（3，）；

③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時，此時△QOP≌△AOH；

易知∠POH=60°，則直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：，
解得、，
故P（，3），
∴OP=2，QP=2，
∴OH=OP=2，AH=QP=2，
故A（2，2）；

④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時△OQP≌△AOH；

此時直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：，
解得、，
∴P（，），
∴QP=，OP=，
∴OH=QP，QP=，AH=OP=，
故A（，）．
綜上可知：符合條件的點A有四個，且坐標為：則符合條件的點A的坐標是 （，）或（3，）或（2，2）或（，）．
點評：此題主要考查的是全等三角形的判定和性質以及函數(shù)圖象交點坐標的求法；由于全等三角形的對應頂點不明確，因此要注意分類討論思想的運用．