Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=x²+c的圖象拋物線(xiàn)交x軸于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，△ADC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若將△OBC繞平面內(nèi)某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△O′B′C′，點(diǎn)O′，B′均落在此拋物線(xiàn)上，求此時(shí)O′的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)求函數(shù)解析式，求出相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度，觀(guān)察AC=2OA，進(jìn)而求出∠ABC度數(shù)；
（2）通過(guò)觀(guān)察三角形ADC面積與三角形AOC面積相等，可以判斷直線(xiàn)OD∥AC，求出直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交點(diǎn)即為點(diǎn)D；
（3）利用拋物線(xiàn)解析式設(shè)出O′，通過(guò)旋轉(zhuǎn)60°，求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，將點(diǎn)B′代入拋物線(xiàn)解析式即可求出．

解答 解：（1）由題意與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），
∴得解析式為y=x²-3，
令y=0，x=±$\sqrt{3}$，
∴B（$\sqrt{3}$，0），A（-$\sqrt{3}$，0），
∴OA=$\sqrt{3}$，OC=3，AC=2$\sqrt{3}$，
∴∠OCA=30°，
∴∠ABC=60°； 

（2）由（1）得：OA=$\sqrt{3}$，OC=3，
∴S_△OAC=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
過(guò)原點(diǎn)與AC平行的直線(xiàn)y=-$\sqrt{3x}$，
直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)D，
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{y={x}^{2}-3}\end{array}\right.$，
解得x₁=$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}$，x₂=$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{15}}{2}$（舍去），
∴D （$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}$，$\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$）．

（3）設(shè)點(diǎn)O′（m，m²-3），
∵順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，
則點(diǎn)B′（m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，m²-$\frac{9}{2}$），
∴（m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²-3=m²-$\frac{9}{2}$，
∴m=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴O′（-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{21}{16}$）．

點(diǎn)評(píng) 題目考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)解析式、三角形面積，一次函數(shù)解析式確定及旋轉(zhuǎn)，題目整體較難，適合學(xué)生中考?jí)狠S題的拔高訓(xùn)練．