Question

20．如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，二次函數(shù)y=x²+c的圖象拋物線交x軸于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，-3）．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）若點D是第四象限內(nèi)拋物線上一點，△ADC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求點D的坐標；
（3）若將△OBC繞平面內(nèi)某一點順時針旋轉60°得到△O′B′C′，點O′，B′均落在此拋物線上，求此時O′的坐標．

Answer 1

分析 （1）通過求函數(shù)解析式，求出相應線段的長度，觀察AC=2OA，進而求出∠ABC度數(shù)；
（2）通過觀察三角形ADC面積與三角形AOC面積相等，可以判斷直線OD∥AC，求出直線與拋物線交點即為點D；
（3）利用拋物線解析式設出O′，通過旋轉60°，求出點B′的坐標，將點B′代入拋物線解析式即可求出．

解答 解：（1）由題意與y軸交于點C（0，-3），
∴得解析式為y=x²-3，
令y=0，x=±$\sqrt{3}$，
∴B（$\sqrt{3}$，0），A（-$\sqrt{3}$，0），
∴OA=$\sqrt{3}$，OC=3，AC=2$\sqrt{3}$，
∴∠OCA=30°，
∴∠ABC=60°； 

（2）由（1）得：OA=$\sqrt{3}$，OC=3，
∴S_△OAC=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
過原點與AC平行的直線y=-$\sqrt{3x}$，
直線與拋物線的交點即為點D，
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{y={x}^{2}-3}\end{array}\right.$，
解得x₁=$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}$，x₂=$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{15}}{2}$（舍去），
∴D （$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}$，$\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$）．

（3）設點O′（m，m²-3），
∵順時針旋轉60°，
則點B′（m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，m²-$\frac{9}{2}$），
∴（m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²-3=m²-$\frac{9}{2}$，
∴m=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴O′（-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{21}{16}$）．

點評 題目考查二次函數(shù)綜合應用，涉及二次函數(shù)解析式、三角形面積，一次函數(shù)解析式確定及旋轉，題目整體較難，適合學生中考壓軸題的拔高訓練．