【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠EAC=90°,點M為射線AE上任意一點(不與A重合),連接CM,將線段CM繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN,直線NB分別交直線CM、射線AE于點F、D.
(1)直接寫出∠NDE的度數(shù).
(2)如圖2、圖3,當(dāng)∠EAC為銳角或鈍角時,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化?如果不變,選取其中一種情況加以證明;如果變化,請說明理由.
(3)如圖4,若∠EAC=15°,∠ACM=60°,直線CM與AB交于G,BD=,其他條件不變,求線段AM的長.
【答案】
(1)
解:∵∠ACB=90°,∠MCN=90°,
∴∠ACM=∠BCN,
在△MAC和△NBC中,
,
∴△MAC≌△NBC,
∴∠NBC=∠MAC=90°,
又∵∠ACB=90°,∠EAC=90°,
∴∠NDE=90°
(2)
解:不變,
在△MAC≌△NBC中,
,
∴△MAC≌△NBC,
∴∠N=∠AMC,
又∵∠MFD=∠NFC,
∠MDF=∠FCN=90°,即∠NDE=90°
(3)
解:作GK⊥BC于K,
∵∠EAC=15°,
∴∠BAD=30°,
∵∠ACM=60°,
∴∠GCB=30°,
∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°,
∠AMG=75°,
∴AM=AG,
∵△MAC≌△NBC,
∴∠MAC=∠NBC,
∴∠BDA=∠BCA=90°,
∵BD=,
∴AB=+,
AC=BC=+1,
設(shè)BK=a,則GK=a,CK=a,
∴a+a=+1,
∴a=1,
∴KB=KG=1,BG=,
AG=,
∴AM=.
【解析】(1)根據(jù)題意證明△MAC≌△NBC即可;
(2)與(1)的證明方法相似,證明△MAC≌△NBC即可;
(3)作GK⊥BC于K,證明AM=AG,根據(jù)△MAC≌△NBC,得到∠BDA=90°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和已知條件求出AG的長,得到答案.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】勾股定理a2+b2=c2本身就是一個關(guān)于a,b,c的方程,滿足這個方程的正整數(shù)解(a,b,c)通常叫做勾股數(shù)組.畢達哥拉斯學(xué)派提出了一個構(gòu)造勾股數(shù)組的公式,根據(jù)該公式可以構(gòu)造出如下勾股數(shù)組:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股數(shù)組可以發(fā)現(xiàn),4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),…分析上面規(guī)律,第5個勾股數(shù)組為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,直線y=kx+1(k≠0)與雙曲線y= (x>0)相交于點P(1,m ).
(1)求k的值;
(2)若點Q與點P關(guān)于直線y=x成軸對稱,則點Q的坐標(biāo)是Q();
(3)若過P、Q二點的拋物線與y軸的交點為N(0, ),求該拋物線的函數(shù)解析式,并求出拋物線的對稱軸方程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m與x軸相交于不同的兩點A、B
(1)求m的取值范圍;
(2)證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標(biāo)軸上的一點P,并求出點P的坐標(biāo);
(3)當(dāng) <m≤8時,由(2)求出的點P和點A,B構(gòu)成的△ABP的面積是否有最值?若有,求出該最值及相對應(yīng)的m值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,在正方形ABCD和正方形CGEF中,點B、C、G在同一條直線上,M是線段AE的中點,DM的延長線交EF于點N,連接FM,易證:DM=FM,DM⊥FM(無需寫證明過程)
(1)如圖2,當(dāng)點B、C、F在同一條直線上,DM的延長線交EG于點N,其余條件不變,試探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系?請寫出猜想,并給予證明;
(2)
如圖3,當(dāng)點E、B、C在同一條直線上,DM的延長線交CE的延長線于點N,其余條件不變,探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系?請直接寫出猜想.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為聲援揚州“運河申遺”,某校舉辦了一次運河知識競賽,滿分10分,學(xué)生得分為整數(shù),成績達到6分以上(包括6分)為合格,達到9分以上(包含9分)為優(yōu)秀.這次競賽中甲乙兩組學(xué)生成績分布的條形統(tǒng)計圖如圖所示.
(1)補充完成下面的成績統(tǒng)計分析表:
組別 | 平均分 | 中位數(shù) | 方差 | 合格率 | 優(yōu)秀率 |
甲組 | 6.7 | 3.41 | 90% | 20% | |
乙組 | 7.5 | 1.69 | 80% | 10% |
(2)小明同學(xué)說:“這次競賽我得了7分,在我們小組中排名屬中游略偏上!”觀察上表可知,小明是 組的學(xué)生;(填“甲”或“乙”)
(3)甲組同學(xué)說他們組的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組,所以他們組的成績好于乙組.但乙組同學(xué)不同意甲組同學(xué)的說法,認(rèn)為他們組的成績要好于甲組.請你給出兩條支持乙組同學(xué)觀點的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為加強中小學(xué)生安全教育,某校組織了“防溺水”知識競賽,對表現(xiàn)優(yōu)異的班級進行獎勵,學(xué)校購買了若干副乒乓球拍和羽毛球拍,購買2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元;購買3幅乒乓球拍和2幅羽毛球拍共需204元.
(1)求購買1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元;
(2)若學(xué)校購買乒乓球拍和羽毛球拍共30幅,且支出不超過1480元,則最多能夠購買多少副羽毛球拍?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“春種一粒粟,秋收萬顆子”,唐代詩人李紳這句詩中的“粟”即谷子(去皮后則稱為“小米”),被譽為中華民族的哺育作物.我省有著“小雜糧王國”的美譽,谷子作為我省雜糧面積為2000萬畝,年總產(chǎn)量為150萬噸,我省谷子平均畝產(chǎn)量為160kg,國內(nèi)其他地區(qū)谷子的平均畝產(chǎn)量為60kg.請解答下列問題:
(1)求我省2016年谷子的種植面積是多少萬畝.
(2)2017年,若我省谷子的平均畝產(chǎn)量仍保持160kg不變,要使我省谷子的年總產(chǎn)量不低于52萬噸,那么,今年我省至少應(yīng)再多種植多少萬畝的谷子?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:四邊形ABCD是正方形,E是AB邊上一點,F(xiàn)是BC延長線上一點,且DE=DF.
(1)如圖1,求證:DF⊥DE;
(2)如圖2,連接AC,EF交于點M,求證:M是EF的中點.
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