Question

已知二次函數(shù)， 在和時(shí)的函數(shù)值相等．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，求和的值；

（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn)間的部分（含點(diǎn)和點(diǎn)）向左平移個(gè)單位后得到的圖象記為，同時(shí)將（2）中得到的直線向右平移個(gè)單位．請結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線與圖象有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍．

Answer 1

【解析】
（1）∵二次函數(shù)y＝(t+1)x2+2(t+2)x+

在x=0和x=2時(shí)的函數(shù)值相等，

∴對稱軸x=-=1

即-=1

解得，t=-

則二次函數(shù)的解析式為：y=（-+1）x2+2（-+2）x+-

即y=-（x+1）（x-3）或y=-（x-1）2+2，

∴該函數(shù)圖象的開口方向向下，且經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），（3，0），（0，），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）．其圖象如圖所示：

（2）∵二次函數(shù)的象經(jīng)過點(diǎn)A（-3，m），

∴m=-（-3+1）（-3-3）=-6．

又∵一次函數(shù)y=kx+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-3，m），

∴m=-3k+6，即-6=-3k+6，

解得，k=4．

綜上所述，m和k的值分別是-6、4．

（3）【解析】
由題意可知，點(diǎn)B、C間的部分圖象的解析式是y=- x2+x+=--（x2-2x-3）=--（x-3）（x+1），-1≤x≤3，

則拋物線平移后得出的圖象G的解析式是y=-（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，

此時(shí)直線平移后的解析式是y=4x+6+n，

如果平移后的直線與平移后的二次函數(shù)相切，

則方程4x+6+n=-（x-3+n）（x+1+n）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，

即-- x2-（n+3）x- n2-=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，

判別式△=[-（n+3）]2-4×（-）×（- n2--）=6n=0，

即n=0，

∵與已知n＞0相矛盾，

∴平移后的直線與平移后的拋物線不相切，

∴結(jié)合圖象可知，如果平移后的直線與拋物線有公共點(diǎn)，

則兩個(gè)臨界的交點(diǎn)為（-n-1，0），（3-n，0），

則0=4（-n-1）+6+n，

n=,0=4（3-n）+6+n，

n=6，

即n的取值范圍是：≤n≤6

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知條件知，該函數(shù)的對稱軸方程為x=1，則- =1，據(jù)此易求t的值，

把t的值代入函數(shù)解析式即可；根據(jù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)畫出圖象；

（2）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，利用方程可以求得m的值；然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次

函數(shù)解析式，也是利用方程來求k的值．

（3）求出點(diǎn)B、C間的部分圖象的解析式是y=-（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，直線平移

后的解析式是y=4x+6+n，若兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，得出方程4x+6+n=- （x-3+n）（x+1+n）有

兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，求出判別式△=6n=0，求出的n的值與已知n＞0相矛盾，得出平移后

的直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)臨界的交點(diǎn)為（-n-1，0），（3-n，0），代入直

線的解析式，求出n的值，即可得出答案．

考點(diǎn)：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的特點(diǎn)