Question

12．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD=45°．分別以BC、CD為邊向外作△BCF和△DCE，使BF=BC，DE=DC，∠FBC=∠CDE，延長AB交邊FC于點(diǎn)H，點(diǎn)H在F、C兩點(diǎn)之間，連結(jié)AE、AF、DF．
（1）求證：△ABF≌△EDA．
（2）當(dāng)AE⊥AF時，求∠FBH的度數(shù)．
（3）在（2）的條件下，若B為AH的中點(diǎn)，求sin∠ADF的值．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC，又由BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF，即可證得AB=FD，EB=AD，∠ABE=∠FDA，則可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AFB=∠DAE，然后根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)已知條件得到四邊形ABCD是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，求得∠FBC=90°，延長FB交AD于G，證得△ABG與△BHF是等腰直角三角形，設(shè)AG=BG=x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得到GF，DF的長度，然后又三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC，
∵BF=BC，DE=DC，∠FBC=∠CDE，
∴AB=ED，F(xiàn)B=AD，∠ABF=∠EDA，
在△ABF和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=ED}\\{∠ABF=∠EDA}\\{FB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△EDA（SAS）；

（2）∵△ABF≌△EDA，
∴∠AFB=∠DAE，
∵AE⊥AF，∠BAD=45°，
∴∠FAB+∠DAE=90°-∠BAD=45°，
∴∠FBH=∠FAB+∠AFB=∠FAB+∠DAE=45°；

（3）∵△ABF≌△EDA，
∴AD=BF，DE=AB，
∵BF=BC，DE=DC，
∴AD=BC，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠CBH=∠BAD=45°，
∴∠FBC=90°，
延長FB交AD于G，
∴∠DGB=∠FBC=90°，
∴△ABG與△BHF是等腰直角三角形，
設(shè)AG=BG=x，
∴AB=BH=$\sqrt{2}$x，
∴BF=AD=2x，
∴DG=x，GF=3x，
∴DF=$\sqrt{10}$x，
∴sin∠ADF=$\frac{GF}{DF}$=$\frac{3x}{\sqrt{10}x}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，注意證得AB=ED，F(xiàn)B=AD，∠ABF=∠EDA是關(guān)鍵．