Question

（2013•邗江區(qū)一模）在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，扇形ODF與BC邊相切，切點(diǎn)是E，若FO⊥AB于點(diǎn)O．求扇形ODF的半徑．

Answer 1

分析：連接OE，設(shè)扇形ODF的半徑為r，在直角三角形ABC中，由AC及BC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再由扇形ODF與BC相切，得到OE垂直于BC，由OF與AB垂直及AC于BC垂直得到兩對(duì)直角相等，再由一對(duì)公共角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形AOF與三角形ACB相似，由相似得比例，將AC，BC及設(shè)出的半徑r代入，表示出AO的長(zhǎng)，又AC垂直于BC，可得出OE與AC平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等可得出兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形BOE與三角形ACB相似，根據(jù)相似得比例將AB，AC，表示出的OB及OE代入，得到關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到半徑r的值．

解答：解：連接OE，如圖所示：

設(shè)扇形ODF的半徑為rcm．
在Rt△ACB中，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=

62+82

=10cm，…（1分）
∵扇形ODF與BC邊相切，切點(diǎn)是E，
∴OE⊥BC，
∵∠AOF=∠ACB=90°，又∠A=∠A，
∴△AOF∽△ACB．
∴

AO

AC

=

OF

BC

，即

AO

6

=

r

8

，
解得：AO=

3

4

r，…（5分）
∵OE∥AC，
∴∠BOE=∠BAC，∠OEB=∠ACB，
∴△BOE∽△BAC，又OB=AB-OA=10-

3r

4

，
∴

BO

BA

=

OE

AC

，即

10- 3r 4

10

=

r

6

，
解得：r=

120

29

．…（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．