Question

【題目】如圖：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC邊上的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②EF=AP；③2S四邊形AEPF=S△ABC；④當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A，B重合）有BE+CF=EF；上述結(jié)論中始終正確的序號(hào)有（ ）個(gè)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù) “角邊角”證明△APE和△CPF全等，根據(jù)全等三角形的可得AE=CF，判定①正確，根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的 倍表示出EF，可知EF隨著點(diǎn)E的變化而變化，判定②錯(cuò)誤, 根據(jù)全等三角形的面積相等可得△APE的面積等于△CPF的面積相等，然后求出四邊形AEPF的面積等于△ABC的面積的一半，判定③正確．根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍表示出EF，可知EF隨著點(diǎn)E的變化而變化，判定④錯(cuò)誤．

解：如圖，連接EF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，

∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，

∴∠APF+∠CPF=90°，

∵∠EPF是直角，

∴∠APF+∠APE=90°，

∴∠APE=∠CPF，；

在△APE和△CPF中， ，

∴△APE≌△CPF（ASA），

∴AE=CF，故①正確；

∵△APE≌△CPF

∴EP=FP

∴△EFP是等腰直角三角形，

∴EF=PF，

而只有F點(diǎn)為AC的中點(diǎn)時(shí)，AP=PF，

即點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)時(shí)有EF=AP，所以②不一定正確．

∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∴S四邊形AEPF=S△APF+S△APE=S△APF+S△CPF=S△APC= S△ABC，

∴2S四邊形AEPF=S△ABC

故③正確，

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，EF=PE，

∵EF≤AE+AF，即EF≤AC

∵BE+CF=AC，

∴BE+CF≥EF，故④錯(cuò)誤；

綜上所述，正確的結(jié)論有①③共2個(gè)．
故選：B．