【題目】如圖:已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC邊上的中點(diǎn),兩邊PE,PF分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,給出以下四個(gè)結(jié)論:①AE=CF;②EF=AP;③2S四邊形AEPF=S△ABC;④當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A,B重合)有BE+CF=EF;上述結(jié)論中始終正確的序號(hào)有( )個(gè)
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】B
【解析】
根據(jù) “角邊角”證明△APE和△CPF全等,根據(jù)全等三角形的可得AE=CF,判定①正確,根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的 倍表示出EF,可知EF隨著點(diǎn)E的變化而變化,判定②錯(cuò)誤, 根據(jù)全等三角形的面積相等可得△APE的面積等于△CPF的面積相等,然后求出四邊形AEPF的面積等于△ABC的面積的一半,判定③正確.根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍表示出EF,可知EF隨著點(diǎn)E的變化而變化,判定④錯(cuò)誤.
解:如圖,連接EF,
∵AB=AC,∠BAC=90°,點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),
∴AP⊥BC,AP=PC,∠EAP=∠C=45°,
∴∠APF+∠CPF=90°,
∵∠EPF是直角,
∴∠APF+∠APE=90°,
∴∠APE=∠CPF,;
在△APE和△CPF中, ,
∴△APE≌△CPF(ASA),
∴AE=CF,故①正確;
∵△APE≌△CPF
∴EP=FP
∴△EFP是等腰直角三角形,
∴EF=PF,
而只有F點(diǎn)為AC的中點(diǎn)時(shí),AP=PF,
即點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)時(shí)有EF=AP,所以②不一定正確.
∵△APE≌△CPF,
∴S△APE=S△CPF,
∴S四邊形AEPF=S△APF+S△APE=S△APF+S△CPF=S△APC= S△ABC,
∴2S四邊形AEPF=S△ABC
故③正確,
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),EF=PE,
∵EF≤AE+AF,即EF≤AC
∵BE+CF=AC,
∴BE+CF≥EF,故④錯(cuò)誤;
綜上所述,正確的結(jié)論有①③共2個(gè).
故選:B.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)a,b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù),我們規(guī)定:滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間,表示為[a,b].對(duì)于一個(gè)函數(shù),如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足:當(dāng)m≤x≤n時(shí),有m≤y≤n,我們就稱(chēng)此函數(shù)是閉區(qū)間[m,n]上的“閉函數(shù)”.如函數(shù)y=﹣x+4,當(dāng)x=1時(shí),y=3;當(dāng)x=3時(shí),y=1,即當(dāng)1≤x≤3時(shí),恒有1≤y≤3,所以說(shuō)函數(shù)y=﹣x+4是閉區(qū)間[1,3]上的“閉函數(shù)”,同理函數(shù)y=x也是閉區(qū)間[1,3]上的“閉函數(shù)”.
(1)反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1,2018]上的“閉函數(shù)”嗎?請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由;
(2)如果已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+k是閉區(qū)間[2,t]上的“閉函數(shù)”,求k和t的值;
(3)如果(2)所述的二次函數(shù)的圖象交y軸于C點(diǎn),A為此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),B為直線x=1上的一點(diǎn),當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí),寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△AOB中,直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上,將△AOB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,得到△A′O′B,且反比例函數(shù)y=的圖象恰好經(jīng)過(guò)斜邊A′B的中點(diǎn)C,若SABO=4,tan∠BAO=2,則k=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,點(diǎn)M,P,N分別為DE,DC,BC的中點(diǎn).
(1)觀察猜想
圖1中,線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 ;
(2)探究證明
把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置,連接MN,BD,CE,判斷△PMN的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=10,請(qǐng)直接寫(xiě)出△PMN面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明學(xué)習(xí)電學(xué)知識(shí)后,用四個(gè)開(kāi)關(guān)按鍵(每個(gè)開(kāi)關(guān)按鍵閉合的可能性相等)、一個(gè)電源和一個(gè)燈泡設(shè)計(jì)了一個(gè)電路圖
(1)若小明設(shè)計(jì)的電路圖如圖1(四個(gè)開(kāi)關(guān)按鍵都處于打開(kāi)狀態(tài))如圖所示,求任意閉合一個(gè)開(kāi)關(guān)按鍵,燈泡能發(fā)光的概率;
(2)若小明設(shè)計(jì)的電路圖如圖2(四個(gè)開(kāi)關(guān)按鍵都處于打開(kāi)狀態(tài))如圖所示,求同時(shí)時(shí)閉合其中的兩個(gè)開(kāi)關(guān)按鍵,燈泡能發(fā)光的概率.(用列表或樹(shù)狀圖法)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過(guò)重會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)生對(duì)待學(xué)習(xí)的態(tài)度.為此我市教育部門(mén)對(duì)部分學(xué)校的八年級(jí)學(xué)生對(duì)待學(xué)習(xí)的態(tài)度進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查(把學(xué)習(xí)態(tài)度分為三個(gè)層級(jí),A級(jí):對(duì)學(xué)習(xí)很感興趣;B級(jí):對(duì)學(xué)習(xí)較感興趣;C級(jí):對(duì)學(xué)習(xí)不感興趣),并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖①和圖②的統(tǒng)計(jì)圖(不完整).請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)此次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)將圖①補(bǔ)充完整;
(3)求出圖②中C級(jí)所占的圓心角的度數(shù);
(4)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,請(qǐng)你估計(jì)我市近8000名八年級(jí)學(xué)生中大約有多少名學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度達(dá)標(biāo)(達(dá)標(biāo)包括A級(jí)和B級(jí))?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,CD⊥AB于點(diǎn)D,∠AEB=90°,CD=AE.
求證:(1)△BCD≌△BAE;(2)△EBD是等邊三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠B=60°,對(duì)角線AC平分角∠BAD,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接PA、PB、PC,若PA=6,PB=8,PC=10,則菱形ABCD的面積等于_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的周長(zhǎng)是20 cm,以AB,AD為邊向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和ADGH的面積之和為68 cm2,那么矩形ABCD的面積是_______cm2.
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