Question

1．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°．E為AB中點，D為AC上一點，BF∥AC交DE的延長線于點F．AC=6，BC=5．則四邊形FBCD周長的最小值是16．

Answer 1

分析 由條件易知△BFE與△ADE全等，從而BF=AD，則BF+CD=AD+CD=AC=6，所以只需FD最小即可，由垂線段最短原理可知，當(dāng)FD垂直AC時最短．

解答 解：∵BF∥AC，
∴∠EBF=∠EAD，
在△BFE和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠EAD}\\{BE=AE}\\{∠BEF=∠AED}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△ADE（ASA），
∴BF=AD，
∴BF+FD+CD+BC=AD+CD+FD+BC=AC+BC+FD=11+FD，
∴當(dāng)FD⊥AC時，F(xiàn)D最短，此時FD=BC=5，
∴四邊形FBCD周長的最小值為5+11=16，
故答案為16．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂線段最短原理，難度中等．識別出△BFE≌△ADE，并將問題轉(zhuǎn)化為求FD的最小值是解答本題的關(guān)鍵．