Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為8的等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是平面上一點(diǎn)，且線段DE=2，將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段EF，連接AF.

（1）如圖1，當(dāng)BE=2時(shí)，求線段AF的長(zhǎng)；

（2）如圖2，求證：AF=CE；

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析

【解析】

(1)作AG⊥BC于G點(diǎn)，延長(zhǎng)FE交AG于H點(diǎn),構(gòu)造有60角的直角三角形，再運(yùn)用勾股定理可求解；

(2)利用等邊三角形的性質(zhì)可證明△FBA≌△EBC，從而證明AF=CE.

解：(1)作AG⊥BC于G點(diǎn)，延長(zhǎng)FE交AG于H點(diǎn)

∵AB=AC，

∴∠BAG=30，

∵EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段EF，

∴∠BEF=60，

∴∠BEF=∠B，

∴EF∥BC，

∵AG⊥BC，

∴AG⊥FH，

在Rt△AEH中,∵AE=6,∠EAH=30，

∴,，

在Rt△AFH中，.

(2)連接FB，

∵EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段EF，

∴△EBF是等邊三角形，

∴FB=EB, ∴∠FBE=∠ABC=60

∴∠FBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA

即∠FBA=∠EBC，

又∵AB=BC，

∴△FBA≌△EBC ，

∴AF=CE，