Question

3．已知拋物線y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c與y軸交于點C，與x軸的兩個交點分別為A（-4，0），B（1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點P在拋物線上，連接PC，PB，若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點P的坐標；
（3）已知點E在x軸上，點F在拋物線上，是否存在以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）因為拋物線經(jīng)過點A（-4，0），B（1，0），所以可以設拋物線為y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-1），展開即可解決問題．
（2）先證明∠ACB=90°，點A就是所求的點P，求出直線AC解析式，再求出過點B平行AC的直線的解析式，利用方程組即可解決問題．
（3）分AC為平行四邊形的邊，AC為平行四邊形的對角線兩種切線討論即可解決問題．

解答 解：（1）拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-1），即y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；
（2）存在．
當x=0，y═-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=2，則C（0，2），
∴OC=2，
∵A（-4，0），B（1，0），
∴OA=4，OB=1，AB=5，
當∠PCB=90°時，
∵AC²=4²+2²=20，BC²=2²+1²=5，AB²=5²=25
∴AC²+BC²=AB²
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∴當點P與點A重合時，△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，此時P點坐標為（-4，0）；
當∠PBC=90°時，PB∥AC，如圖1，
設直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（-4，0），C（0，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2，
∵BP∥AC，
∴直線BP的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+p，
把B（1，0）代入得$\frac{1}{2}$+p=0，解得p=-$\frac{1}{2}$，
∴直線BP的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-3}\end{array}\right.$，此時P點坐標為（-5，-3）；
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（-4，0），P₂（-5，-3）；
（3）存在點E，設點E坐標為（m，0），F(xiàn)（n，-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+2）
①當AC為邊，CF₁∥AE₁，易知CF₁=3，此時E₁坐標（-7，0），
②當AC為邊時，AC∥EF，易知點F縱坐標為-2，
∴-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+2=-2，解得n=$\frac{-3±\sqrt{41}}{2}$，得到F₂（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，-2），F(xiàn)₃（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，-2），
根據(jù)中點坐標公式得到：$\frac{-4+m}{2}$=$\frac{0+\frac{-3-\sqrt{41}}{2}}{2}$或$\frac{-4+m}{2}$=$\frac{0+\frac{-3+\sqrt{41}}{2}}{2}$，
解得m=$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$或$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，
此時E₂（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，0），E₃（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，0），
③當AC為對角線時，AE₄=CF₁=3，此時E₄（-1，0），
綜上所述滿足條件的點E為（-7，0）或（-1，0）或（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，0）或（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，0）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質、中點坐標公式等知識，解題的關鍵是構建一次函數(shù)利用方程組解決點P坐標，學會分類討論，學會用方程的思想解決問題，屬于中考壓軸題．