Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，點D是斜邊AB的中點，把△ABC繞點C旋轉，使得點B落在射線CD上，點A落在點A′．那么AA′的長是________．

Answer 1

分析：先根勾股定理計算出BC=3，由點D是斜邊AB的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得DC=DB，則∠DCB=∠B，再根據(jù)旋轉的性質得∠B=∠B′，CA=CA′=4，AB=A′B′=5，∠ACB=∠A′CB′=90°，則∠B′=∠DCB，得到A′B′∥BC，所以A′B′⊥AC，利用面積法克計算出CE=，AE=AC-CE=4-=，然后在Rt△A′CE中，利用勾股定理計算出A′E=，再在Rt△AA′E中利用勾股定理可計算出AA′．
解答：設AC與A′B′的交點為E，如圖，
∵∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴BC==3，
∵點D是斜邊AB的中點，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠B，
∵△ABC繞點C旋轉，使得點B落在射線CD上，點A落在點A′，
∴∠B=∠B′，CA=CA′=4，AB=A′B′=5，∠ACB=∠A′CB′=90°，
∴∠B′=∠DCB，
∴A′B′∥BC，
而∠ACB=90°，
∴A′B′⊥AC，
∵CE•A′B′=A′C•CB′，
∴CE=，
∴AE=AC-CE=4-=
在Rt△A′CE中，A′E==，
在Rt△AA′E中，AA′===．
故答案為．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質以及勾股定理．