Question

（1）已知；△ABC中，BD、CE是∠B、∠C的角平分線，并交于點(diǎn)O．求證：∠BOC=90°+

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∠A．
（2）將上題中內(nèi)角改成外角平分線，如圖2，∠BOC與∠A有何關(guān)系，請(qǐng)你探究及證明．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用角平分線的性質(zhì)求出∠2+∠4的度數(shù)，再由三角形的內(nèi)角和定理便可求出∠BOC；
（2）根據(jù)三角形外角平分線的性質(zhì)可得∠BCO=

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（∠A+∠ABC）、∠OBC=

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（∠A+∠ACB）；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BOC=90°-

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∠A．

解答：（1）證明：∵∠ABC和∠ACB的平分線BD、CE相交于點(diǎn)O，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠4=

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（180°-∠A）=90°-

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∠A，
∴∠BOC=180°-（∠2+∠4）=180°-（90°-

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∠A）=90°+

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∠A；

（2））∠BOC=90°-

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∠A．
證明：∵BO、CO為△ABC兩外角∠CBE、∠BCF的平分線，∠A為x°
∴∠BCO=

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（∠A+∠ABC）、∠OBC=

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（∠A+∠ACB），
由三角形內(nèi)角和定理得，∠BOC=180°-∠BCO-∠OBC，
=180°-

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[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-

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（∠A+180°），
=90°-

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∠A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，涉及到三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，屬中學(xué)階段的常規(guī)題．