Question

15．如圖，AC是矩形ABCD的對角線，過AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接AE，CF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若AB=$\sqrt{3}$，∠DCF=30°，求四邊形AECF的面積．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）由過AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四邊形ABCD是矩形，易證得△AOF≌△COE，則可得AF=CE，繼而證得結(jié)論；
（2）由四邊形ABCD是矩形，易求得CD的長，然后利用三角函數(shù)求得CF的長，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵O是AC的中點(diǎn)，且EF⊥AC，
∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠CEO}\\{∠AOF=∠COE}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四邊形AECF是菱形；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=$\sqrt{3}$，
在Rt△CDF中，cos∠DCF=$\frac{CD}{CF}$，∠DCF=30°，
∴CF=$\frac{CD}{cos30°}$=2，
∵四邊形AECF是菱形，
∴CE=CF=2，
∴四邊形AECF是的面積為：EC•AB=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．注意證得△AOF≌△COE是關(guān)鍵．