【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=1,BC=3,E是邊CD的中點(diǎn),連接BE并延長(zhǎng)與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.
(1)求證:四邊形BDFC是平行四邊形;
(2)若△BCD是等腰三角形,求四邊形BDFC的面積.
【答案】
(1)證明:∵∠A=∠ABC=90°,
∴BC∥AD,
∴∠CBE=∠DFE,
在△BEC與△FED中,
,
∴△BEC≌△FED,
∴BE=FE,
又∵E是邊CD的中點(diǎn),
∴CE=DE,
∴四邊形BDFC是平行四邊形;
(2)解:①BC=BD=3時(shí),由勾股定理得,AB= = =2 ,
所以,四邊形BDFC的面積=3×2 =6 ;②BC=CD=3時(shí),過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AF于G,則四邊形AGCB是矩形,所以,AG=BC=3,所以,DG=AG﹣AD=3﹣1=2,由勾股定理得,CG= = = ,所以,四邊形BDFC的面積=3× =3 ;③BD=CD時(shí),BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直,從而得到BC=2AD=2,矛盾,此時(shí)不成立;綜上所述,四邊形BDFC的面積是6 或3 .
【解析】(1)根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行求出BC∥AD,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠CBE=∠DFE,然后利用“角角邊”證明△BEC和△FCD全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=EF,然后利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可;(2)分①BC=BD時(shí),利用勾股定理列式求出AB,然后利用平行四邊形的面積公式列式計(jì)算即可得解;②BC=CD時(shí),過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AF于G,判斷出四邊形AGCB是矩形,再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AG=BC=3,然后求出DG=2,利用勾股定理列式求出CG,然后利用平行四邊形的面積列式計(jì)算即可得解;③BD=CD時(shí),BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直,從而得到BC=2AD=2,矛盾.
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(1)甲的行進(jìn)速度為每分鐘__________米,m =____分鐘;
(2)求直線PQ對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(3)求乙的行進(jìn)速度.
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(1)如圖1,AB∥EF,BC∥DE.∠1與∠2的關(guān)系是: , 理由:;
(2)如圖2,AB∥EF,BC∥DE.∠1與∠2的關(guān)系是: , 理由: .
(3)由(1)(2)你得出的結(jié)論是:如果 , 那么 .
(4)若兩個(gè)角的兩邊互相平行,且一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少30°,則這兩個(gè)角度數(shù)的分別是
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