Question

【題目】已知等邊△ABC．
（1）如圖①，P為等邊△ABC外一點(diǎn)，且∠BPC=120°，試猜想線(xiàn)段BP、PC、AP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）如圖②，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD=120°，求證：PA+PD+PC＞BD；
（3）在（2）的條件下，若∠CPD=30°，AP=4，CP=5，DP=8，求BD的長(zhǎng)

Answer 1

【答案】解：（1）AP=BP+PC，
證明：延長(zhǎng)BP至E，使PE=PC，連接CE，如圖1所示，
∵∠BPC=120°，
∴∠CPE=60°，
又∵PE=PC，
∴△CPE為等邊三角形，
∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴∠ACB=∠PCE，
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，
即∠ACP=∠BCE，
在△ACP與△BCE中，
，
∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴AP=BE，
∵BE=BP+PE，
∴AP=BP+PC；
（2）證明：延長(zhǎng)DP到M使得PM=PA，連接AM、BM，如下圖2所示，

∵∠APD=120°，PM=PA，
∴∠APM=60°，
∴△APM是等邊三角形，
∴AM=AP，∠PAM=60°，
∴DM=PD+PA，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠MAP=∠BAC，
∴∠MAP﹣∠BAP=∠BAC﹣∠BAP，
即∠MAB=∠PAC，
在△AMB和△APC中，

∴△AMB≌△APC（SAS）
∴BM=PC，
∵在△BDM中，DM+BM＞BD，DM=PD+PA，
∴PA+PD+PC＞BD．
（3）如下圖2所示，

由（2）知△AMB≌△APC，
∴MB=PC，∠AMB=∠APC，
∵∠CPD=30°，AP=4，CP=5，DP=8，∠APD=120°，∠AMP=60°，
∴MB=5，∠AMB=∠APC=∠APD+∠CPD=120°+30°=150°，
∴∠BMD=∠AMB﹣∠AMP=90°，
∵M(jìn)D=MP+PD=4+8=12，MB=5，
∴BD==13，
故答案為：13．

【解析】（1）先寫(xiě)出線(xiàn)段BP、PC、AP之間的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)猜想作出合適的輔助線(xiàn)，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，找出所求數(shù)量關(guān)系需要的條件即可；
（2）要證明PA+PD+PC＞BD，只需要作輔助線(xiàn)延長(zhǎng)DP到M使得PM=PA，連接AM、BM，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊即可證明結(jié)論；
（3）要求BD的長(zhǎng)，根據(jù)（2）中得到的結(jié)論和題意可以得到∠BMD=90°，BM的長(zhǎng)，MD的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可求得BD的長(zhǎng)，本題得以解決．