Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過O、B、C三點，B、C坐標(biāo)分別為（10，0）和（，﹣），以O(shè)B為直徑的⊙A經(jīng)過C點，直線l垂直x軸于B點．

（1）求直線BC的解析式；

（2）求拋物線解析式及頂點坐標(biāo)；

（3）點M是⊙A上一動點（不同于O，B），過點M作⊙A的切線，交y軸于點E，交直線l于點F，設(shè)線段ME長為m，MF長為n，請猜想m•n的值，并證明你的結(jié)論；

（4）若點P從O出發(fā)，以每秒一個單位的速度向點B作直線運動，點Q同時從B出發(fā)，以相同速度向點C作直線運動，經(jīng)過t（0＜t≤8）秒時恰好使△BPQ為等腰三角形，請求出滿足條件的t值．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

∵直線BC經(jīng)過B、C，

∴，

解得：，

∴直線BC的解析式為；y=x﹣．

 

（2）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過O、B、C三點，B、C坐標(biāo)分別為（10，0）和（，﹣），

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x；

∴x=﹣=﹣=5，y=x2﹣x=×52﹣×5=﹣，

∴頂點坐標(biāo)為（5，﹣）；

 

（3）m•n=25；

如圖2，連接AE、AM、AF，則AM⊥EF，

在RT△AOE與RT△AME中

∴Rt△AOE≌RT△AME（HL），

∴∠OAE=∠MAE，

同理可證∠BAF=∠MAF，

∴∠EAF=90°，

在RT△EAF中，根據(jù)射影定理得AM2=EM•FM，

∵AM=OB=5，ME=m，MF=n，

∴m•n=25；

 

（4）如圖3．有三種情況；

①當(dāng)PQ=BQ時，作QH⊥PB，

∵直線BC的斜率為，∴HQ：BQ=3：5，HB：BQ=4：5；

∵HB=（10﹣t）×，BQ=t，

∴=，

解得；t=，

②當(dāng)PB=QB時，則10﹣t=t，

解得t=5，

③當(dāng)PQ=PB時，作QH⊥OB，則PQ=PB=10﹣t，BQ=t，HP=t﹣（10﹣t），QH=t；

∵PQ2=PH2+QH2，

∴（10﹣t）2=【t﹣（10﹣t）]2+（t）2；

解得t=．