Question

如圖，在平面直角坐標系中，點C（3，0）在x軸的正半軸上，點B（0，3

2

+3）在y軸的正半軸上，射線CD⊥BC交y軸于點D，點A在射線CD上，且AC=BC，連接AB．
（1）求點A的坐標；
（2）在y軸上有一動點E以每秒

2

個單位的速度從點B出發(fā)沿射線BO運動，設ADE的面積為S，點E的運動時間為t，求S與t的函數(shù)關系式；
（3）請問：此時射線BD是否平分∠ABC？若是，請證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）作AM⊥x軸于M，根據(jù)AAS即可證得△AMC≌△COB得出AM=OC，CM=OB，進而得出A的坐標；
（2）根據(jù)A、C的坐標求得直線AC的解析式，從而求得D的坐標，得出ED的長，然后根據(jù)三角形的面積公式，即可得出S與t的關系式；
（3）根據(jù)A、B的坐標，求得直線AB的解析式，從而求得直線AB與x軸的交點E的坐標，得出OE=OC，根據(jù)垂直平分線上的點，到線段的兩個端點的距離相等，求得三角形BEC是等腰三角形，進而求得BD是∠ABC的平分線．

解答：（1）解：作AM⊥x軸于M，
∵點C（3，0），B（0，3

2

+3），
∴OC=3，OB=3

2

+3，
∵∠BCO+∠OCD=90°，∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠MCA=∠OBC，
在△AMC與△COB中，

∠MCA=∠OBC ∠AMC=∠BOC=90° AC=BC

，
∴△AMC≌△COB（AAS）
∴AM=OC=23，CM=OB=3

2

+3，
∴A（-3

2

，-3），

（2）解：∵A（-3

2

，-3），C（3，0），B（0，3

2

+3），
∴直線AC為：y=（

2

-1）x+3-3

2

，
∴D（0，3-3

2

），
∴BD=3

2

+3-（3-3

2

）=6

2

，
∵BE=2t，
∴DE=6

2

-2t，
∴S=

1

2

DE•3

2

=

1

2

（6

2

-2t）×3

2

=18-3

2

t，
即S=18-3

2

t；

（3）證明：∵A（-3

2

，-3），C（3，0），B（0，3

2

+3），
∴直線AB為：y=（

2

+1）x+3

2

+3，
令y=0，x=-3，
∴E（-3，0），
∵C（3，0），
∴OE=OC，
∵OB⊥CE，
∴BE=CB，
∴△BEC是等腰三角形，
∴BD平分∠ABC．

點評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，直線和x軸的交點，以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，本題的關鍵是直線與坐標軸的交點坐標．