Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD= AB，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，DH⊥AE于點(diǎn)H，連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O，下列結(jié)論：
①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，
其中正確的有（ ）

A.2個(gè)
B.3個(gè)
C.4個(gè)
D.5個(gè)

Answer 1

【答案】C
【解析】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE= AB，

∵AD= AB，

∴AE=AD，

在△ABE和△AHD中，

，

∴△ABE≌△AHD（AAS），

∴BE=DH，

∴AB=BE=AH=HD，

∴∠ADE=∠AED= （180°﹣45°）=67.5°，

∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，

∴∠AED=∠CED，故①正確；

∵AB=AH，

∵∠AHB= （180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（對(duì)頂角相等），

∴∠OHE=67.5°=∠AED，

∴OE=OH，

∵∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，

∴∠DHO=∠ODH，

∴OH=OD，

∴OE=OD=OH，故②正確；

∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，

∴∠EBH=∠OHD，

在△BEH和△HDF中，

，

∴△BEH≌△HDF（ASA），

∴BH=HF，HE=DF，故③正確；

∵HE=AE﹣AH=BC﹣CD，

∴BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=BC﹣（CD﹣HE）=（BC﹣CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正確；

∵AB=AH，∠BAE=45°，

∴△ABH不是等邊三角形，

∴AB≠BH，

∴即AB≠HF，故⑤錯(cuò)誤；

綜上所述，結(jié)論正確的是①②③④共4個(gè)．

所以答案是：C．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用角平分線的性質(zhì)定理和矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等．