Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0）、A（1，0），過點(diǎn)A作x軸的垂線交直線y=x于點(diǎn)B，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓交y軸于C、D兩點(diǎn)，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過B、D．
（1）求b，c的值；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)交⊙O于F，求EF的長(zhǎng)；
（3）若⊙O交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作⊙O的切線交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
探究：點(diǎn)P是否在拋物線上？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）點(diǎn)B（1，1），D（0，-1），
將B（1，1），D（0，-1），代入y=x²+bx+c，得b=1，c=-1；

（2）由，∴DE=．
連接CF，由△CFD∽△EOD，得，
∴FD=，∴EF=FD-DE=

（3）點(diǎn)P在拋物線上．
設(shè)過D、G點(diǎn)的直線為：y=kx+b，
將點(diǎn)G（-1，0），D（0，-1）代入y=kx+b，
得直線DG為：y=-x-1．
過點(diǎn)C作⊙O的切線CP與x軸平行，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，
將y=1代入y=-x-1，得：x=-2．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，1）
又當(dāng)x=-2時(shí)，y=x²+x-1=1，
∴P點(diǎn)在拋物線y=x²+x-1上．
分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)O（0，0）、A（1，0），所以可求出圓的半徑為1，所以點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1），再把B，D的坐標(biāo)分別代入可求出b，c的值；
（2）先求出拋物線的對(duì)稱軸，進(jìn)而求出DE的長(zhǎng)，利用三角形相似得到FD和已知線段的關(guān)系，從而求出求EF的長(zhǎng)；
（3）現(xiàn)設(shè)出過D、G點(diǎn)的直線為：y=kx+b，再把D、G點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出直線的解析式，再利用條件可判斷點(diǎn)P是否在拋物線上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)和圓的相關(guān)知識(shí)相結(jié)合，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)解析式組成的方程組解的個(gè)數(shù)的關(guān)系以及點(diǎn)的存在性問題，有一定的開放性．