Question

15．如圖，A，B，C是平面直角坐標(biāo)系軸上的三個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)BC：y=-x+3與拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c交于B，C兩點(diǎn)，OB=3OA，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)M，使得△BCM是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)N是拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)且位于直線(xiàn)BC的上方，試求△BCN的最大面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得B、C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）分類(lèi)討論：CM⊥BC時(shí)，根據(jù)角的和差，可得∠ECM₁的度數(shù)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)；BM⊥BC時(shí)，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，可得∠GM₂F═45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)平行于y軸的直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)間較小的縱坐標(biāo)，可得PN的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）直線(xiàn)y=-x+3，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3）；
當(dāng)y=0時(shí)，x=3，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；
由OB=3OA，得A（-1，0）．
把A（-1，0）、B（3，0）、C（3，0）三點(diǎn)代入方程y=ax²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\\{\;}\end{array}\right.$，
y=-x²+2x+3．
（2）存在．  
�。┊�(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作C M₁⊥BC，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M₁．過(guò)點(diǎn)M₁作y軸的垂線(xiàn)，垂足是E，
如圖1：
．
由B（3，0）、C（0，3），得OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO=45°
∵∠BCM₁=90°，
∴∠MCE+∠BCO=90°．
∴∠MCE=45°，
∴EC=E M₁．
設(shè)M（m，-m²+2m+3），則m=-m²+2m+3-3，
解得：m₁=0（舍去），m₂=1．
∴-m²+2m+3=4，即M₁（1，4）．
ⅱ）當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)B作BM₂，BM₂⊥BC交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M₂，過(guò)點(diǎn)M₂作y軸的垂線(xiàn)，垂足是F，BM₂交y軸于點(diǎn)G，
如圖2：

∴M₂F∥x軸，
∵∠CBO=45°，
∴∠OBM₂=45°，
∴∠GM₂F═45°．
∴M₂F=GF．
設(shè)M₂（m，-m²+2m+3），則n=（-m²+2m+3）+3，
解得：m₁=-2，m₂=3（舍去），
∴-m²+2m+3=-5，即M₂（-2，-5）．
綜上所述，M的坐標(biāo)是（1，4）或（-2，-5）；
（3）如圖3：

過(guò)點(diǎn)N作NP⊥x軸交直線(xiàn)BC于點(diǎn)P，
設(shè)N（n，-n²+2n+3），P（n，-n+3）
NP=（-n²+2n+3）-（-n+3）
=-n²+3n（0＜n＜3），
S_△BCN=S_△CNP+S_△BNP=$\frac{1}{2}$NP•OB
=$\frac{1}{2}$×3×（-n²+3n）
=-$\frac{3}{2}$（n-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
當(dāng)n=$\frac{3}{2}$時(shí)，△BNC的面積最大為$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用等腰直角三角形的性質(zhì)的出關(guān)于M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程是解題關(guān)鍵；利用面積的和差得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵．