Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2cm，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，此時點B的對應(yīng)點D恰好落在邊AB上，斜邊DE交AC邊于點F，則圖中陰影部分的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$cm²．

Answer 1

分析 先根據(jù)已知條件求出AC的長及∠B的度數(shù)，再根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定定理判斷出△BCD的形狀，進而得出∠DCF的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)可判斷出DF是△ABC的中位線，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×$\sqrt{3}$=2 $\sqrt{3}$，AB=2BC=4，
∵△EDC是△ABC旋轉(zhuǎn)而成，
∴BC=CD=BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵∠B=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠DCF=∠BCA-∠BCD=30°，
∵∠EDC=∠B=60°，
∴∠DFC=90°，
即DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴DF是△ABC的中位線，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×2=1，CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2 $\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△CDF=$\frac{1}{2}$DF×CF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cm²．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理及三角形的面積公式，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵，即：
①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；
②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；
③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．