Question

【題目】綜合探究：

（1）如圖1，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在上， ．若AB＝13，BC＝12，直接寫(xiě)出CD的長(zhǎng)；

（2）如圖2，AB、CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，E是劣弧AD上一點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交CD的延長(zhǎng)線于F，過(guò)O作OG∥AE交CE于G，求AE：CG的值；

（3）如圖3，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)．若點(diǎn)E滿足AE＝AC，CE＝CA，點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn)，則＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）CD＝；（2）；（3）．

【解析】

(1) 連接AC、BD，可得AD＝BD，再利用E、A、C三點(diǎn)共線，勾股定理即可解答.

(2) 作OH⊥OG，交CE于H，連接AH，證明△COG≌△AOH即可解答.

(3) 分點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)和右側(cè)兩種情況進(jìn)行討論， 利用勾股定理即可解答.

解：（1）如圖1，連接AC、BD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠ACB＝90°，

∵＝，

∴AD＝BD，

將△BCD繞點(diǎn)D，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，

∴∠EAD＝∠DBC，

∵∠DBC+∠DAC＝180°，

∴∠EAD+∠DAC＝180°，

∴E、A、C三點(diǎn)共線，

∵AB＝13，BC＝12，

∴由勾股定理可求得：AC＝5，

∵BC＝AE，

∴CE＝AE+AC＝17，

∵∠EDA＝∠CDB，

∴∠EDA+∠ADC＝∠CDB+∠ADC，即∠EDC＝∠ADB＝90°，

∵CD＝ED，

∴△EDC是等腰直角三角形，

∴CE＝CD，

∴CD＝；

（2）作OH⊥OG，交CE于H，連接AH，

∵OG∥AE，

∴∠OGH＝∠AEC＝45°，

∴∠OHG＝45°，

∴OG＝OH，

又∵∠COG＝∠AOH＝90°﹣∠AOG，OC＝OA，

∴△COG≌△AOH（SAS），

∴CG＝AH，∠AHO＝∠CGO＝135°，

∴∠AHC＝90°，

∴AE＝AH＝CG，

∴＝．

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時(shí)，連接CQ，PC，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，

∴AP＝CP，∠APC＝90°，

又∵CA＝CE，點(diǎn)Q是AE的中點(diǎn)，

∴∠CQA＝90°，

設(shè)AC＝a，

∵AE＝AC，

∴AE＝a，

∴AQ＝AE＝a，

由勾股定理可求得：CQ＝a，

∵AQ+CQ＝PQ，

∴PQ＝a+a，

∴PQ＝AC，即＝；

如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的右側(cè)時(shí)，連接CQ、CP，

同理可知：∠AQC＝∠APC＝90°，

設(shè)AC＝a，

∴AQ＝AE＝a，

由勾股定理可求得：CQ＝a，

又PQ＝（CQ﹣AQ），

∴PQ＝AC，即＝；

綜上，＝，

故答案為：．