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【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=，O是BC邊的中點，點E是正方形內一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE，CF.

(1)若A，E，O三點共線，求CF的長；

(2)求△CDF的面積的最小值.

【答案】(1)CF=3；(2).

【解析】

（1）由正方形的性質可得AB=BC=AD=CD=2，根據勾股定理可求AO=5，即AE=3，由旋轉的性質可得DE=DF，∠EDF=90°，根據“SAS”可證△ADE≌△CDF，可得AE=CF=3；

（2）由△ADE≌△CDF，可得S△ADE=S△CDF，當OE⊥AD時，S△ADE的值最小，即可求△CDF的面積的最小值．

(1)由旋轉得：，，

∵是邊的中點，

∴，

在中，，

∴，

∵四邊形是正方形，

∴，，

∴，

即，

∴，

在和中，

∴，

∴；

（2）由于，所以點可以看作是以為圓心，2為半徑的半圓上運動，

過點作于點，

∵，

∴，

當，，三點共線，最小，，

∴.

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】為保證車輛行駛安全，現在公路旁設立一檢測點A觀測行駛的汽車是否超速．如圖，檢測點A到公路的距離是24米，在公路上取兩點B、C，使得∠ACB=30°，∠ABC=120°．

(1)求BC的長（結果保留根號）；

(2)已知該路段限速為45千米/小時，若測得某汽車從B到C用時2秒，這輛汽車是否超速？說明理由．（參考數據：≈1.7，≈1.4）

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，⊙O的弦AB＝4cm，點C為優(yōu)弧上的動點，且∠ACB＝30°．若弦DE經過弦AC、BC的中點M、N，則DM+EN的最大值是_____cm．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，某地有一座圓弧形拱橋，

（1）如圖1，請用尺規(guī)作出圓弧所在圓的圓心O；

（2）如圖2，過點O作OC⊥AB于點D，交圓弧于點C，CD＝2.4 m．橋下水面寬度AB為7.2 m，現有一艘寬3 m、船艙頂部為方形并高出水面2 m的貨船要經過拱橋，請通過計算說明此貨船能否順利通過這座拱橋.

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】把（sinα）2記作sin2α，根據圖1和圖2完成下列各題．

（1）sin2A1+cos2A1= ，sin2A2+cos2A2= ，sin2A3+cos2A3= ；

（2）觀察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，總有sin2A+cos2A= ；

（3）如圖2，在Rt△ABC中證明（2）題中的猜想：

（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=，求cosA．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，直線y1=﹣x+4，y2=x+b都與雙曲線y=交于點A（1，m），這兩條直線分別與x軸交于B，C兩點．

（1）求y與x之間的函數關系式；

（2）直接寫出當x＞0時，不等式x+b＞的解集；

（3）若點P在x軸上，連接AP把△ABC的面積分成1：3兩部分，求此時點P的坐標．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】已知：如圖①所示，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點．

（1）求證：①BE＝CD；②△AMN是等腰三角形；

（2）在圖①的基礎上，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉180°，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請直接寫出（1）中的兩個結論是否仍然成立；

（3）在（2）的條件下，請你在圖②中延長ED交線段BC于點P．求證：△PBD∽△AMN．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，有一塊含30°角的直角三角板OAB的直角邊BO的長恰與另一塊等腰直角三角板ODC的斜邊OC的長相等，把這兩塊三角板放置在平面直角坐標系中，且OB＝3.

(1)若某反比例函數的圖象的一個分支恰好經過點A，求這個反比例函數的解析式；

(2)若把含30°角的直角三角板繞點O按順時針方向旋轉后，斜邊OA恰好落在x軸上，點A落在點A′處，試求圖中陰影部分的面積．(結果保留π)

【答案】(1)反比例函數的解析式為y＝；(2)S陰影＝6π－.

【解析】分析：（1）根據tan30°=，求出AB，進而求出OA，得出A的坐標，設過A的雙曲線的解析式是y=，把A的坐標代入求出即可；（2）求出∠AOA′，根據扇形的面積公式求出扇形AOA′的面積，求出OD、DC長，求出△ODC的面積，相減即可求出答案．

本題解析：

(1)在Rt△OBA中，∠AOB＝30°，OB＝3，

∴AB＝OB·tan 30°＝3.

∴點A的坐標為(3，3)．

設反比例函數的解析式為y＝ (k≠0)，

∴3＝，∴k＝9，則這個反比例函數的解析式為y＝.

(2)在Rt△OBA中，∠AOB＝30°，AB＝3，

sin ∠AOB＝，即sin 30°＝，

∴OA＝6.

由題意得：∠AOC＝60°，S扇形AOA′＝＝6π.

在Rt△OCD中，∠DOC＝45°，OC＝OB＝3，

∴OD＝OC·cos 45°＝3×＝.

∴S△ODC＝OD2＝＝.

∴S陰影＝S扇形AOA′－S△ODC＝6π－.

點睛：本題考查了勾股定理、待定系數法求函數解析式、特殊角的三角函數值、扇形的面積及等腰三角形的性質，本題屬于中檔題，難度不大，將不規(guī)則的圖形的面積表示成多個規(guī)則圖形的面積之和是解答本題的關鍵.

【題型】解答題
【結束】
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【題目】矩形ABCD一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得點B落在CD邊上的點P處．

(1)如圖①，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP，OP，OA.

① 求證：△OCP∽△PDA；

② 若△OCP與△PDA的面積比為1:4，求邊AB的長．

(2)如圖②，在(1)的條件下，擦去AO和OP，連接BP.動點M在線段AP上(不與點P，A重合)，動點N在線段AB的延長線上，且BN＝PM，連接MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E.試問動點M，N在移動的過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出線段EF的長度；若變化，說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE與DB交于點F．

（1）求證：BF＝BC；

（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的長．

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