Question

如圖12，E、F分別是正方形ABCD的邊DC、CB上的點，且DE=CF，以AE為邊作正方形AEHG，HE與BC交于點Q，連接DF.

（1）求證：△ADE≌△DCF；

（2）若E是CD的中點，求證：Q為CF的中點；

（3）連接AQ，設S_△CEQ=S₁，S_△AED=S₂，S_△EAQ=S₃，在（2）的條件下，判斷S₁+S₂=S₃是否成立？并說明理由．

Answer 1

（1）由AD=CD,∠ADE=∠DCF=90°， DE=CF得△ADE≌△DCF …………………2分

(2)易證△ADE∽△ECQ   所以   …………………………………………………4分

因為   所以   即點Q是CF中點……………………………6分

（3）成立……………………………………………………………………………7分

理由：因為△ADE∽△ECQ   所以, 所以,  

因為∠C=∠AEQ=90°， 所以△AEQ∽△ECQ， 所以△AEQ∽△ECQ∽△ADE   ………8分

所以   ，    …………………………………………………………9分

所以  …………………………………………………10分

由， 所以    即 …………………………………11分