【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,如果對角線ACBD相交并且相等,那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形.

(1)①在“平行四邊形、矩形、菱形”中, 一定是等角線四邊形(填寫圖形名稱);

MN、PQ分別是等角線四邊形ABCD四邊AB、BCCDDA的中點,當對角線AC、BD還要滿足 時,四邊形MNPQ是正方形.

(2)如圖2,已知ABC中,ABC=90°,AB=4,BC=3,D為平面內(nèi)一點.

若四邊形ABCD是等角線四邊形,且AD=BD,則四邊形ABCD的面積是

設(shè)點E是以C為圓心,1為半徑的圓上的動點,若四邊形ABED是等角線四邊形,寫出四邊形ABED面積的最大值,并說明理由.

【答案】1)①矩形;②ACBD;(2)①3+2 ;②18

【解析】試題(1)①只有矩形的對角線相等,所以矩形是等角線四邊形;

②當ACBD時,四邊形MNPQ是正方形,首先證明四邊形MNPQ是菱形,再證明有一個角是直角即可;

2)①如圖2中,作DEABE.根據(jù)S四邊形ABCD=SADE+S梯形DEBC計算,求出相關(guān)線段即可;

②如圖3中,設(shè)AEBD相交于點Q,連接CE,只要證明當ACBDA、C、E共線時,四邊形ABED的面積最大即可.

試題解析:(1)①在“平行四邊形、矩形、菱形”中,

∵矩形的對角線相等,∴矩形一定是等角線四邊形,

故答案為:矩形.

②當ACBD時,四邊形MNPQ是正方形.

理由:如圖1中,∵M、N、P、Q分別是等角線四邊形ABCD四邊AB、BC、CD、DA的中點,∴PQ=MN=AC,PN=QM=BDPQAC,MQBD

AC=BD,∴MN=NP=PQ=QM,∴四邊形MNPQ是菱形,

∵∠1=∠2,∠2=∠3,∠1=90°,∴∠3=90°,

∴四邊形NMPQ是正方形.

故答案為:ACBD

2)①如圖2中,作DEABE

RtABC中,∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,∴AC==5,

AD=BDDEAB,∴AE=BD=2,

∵四邊形ABCD是等角線四邊形,∴BD=AC=AD=5,在RtBDE中,DE==,∴S四邊形ABCD=SADE+S梯形DEBC

=AEDE+DE+BCBE=×2×++3)×2=3+2

故答案為:3+2;

②如圖3中,設(shè)AEBD相交于點Q,連接CE,作DHAEH,BGAEG.則DHDQBGBQ,∵四邊形ABED是等角線四邊形,∴AE=BD

S四邊形ABED=SABE+SADE=AEDH+AEBG=AEGB+DH)≤AEBQ+QD),即S四邊形ABEDAEBD,

∴當G、H重合時,即BDAE時,等號成立,

AE=BD,∴S四邊形ABEDAE2,即線段AE最大時,四邊形ABED的面積最大,

AEAC+CE,∴AE5+1,∴AE6,∴AE的最大值為6,

∴當A、C、E共線時,取等號,∴四邊形ABED的面積的最大值為×62=18

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(2)若經(jīng)過t秒的移動,線段PQCD垂直平分,求此時t的值;

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起租價

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時長費

遠途費

單價

15

25/公里

15/

1/公里

:車費由起租價、里程費、時長費、遠途費四部分構(gòu)成,其中起租價15元含10分鐘時長費和5公里里程費,遠途費的收取方式為:行車里程10公里以內(nèi)(10公里)不收遠途費,超過10公里的,超出部分每公里收1元.

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(2)若小李乘坐專車,行車里程為公里,平均時速為,則小李應付車費多少元? (用含的代數(shù)式表示)

(3)小李與小王各自乘坐專車,行車車費之和為76元,里程之和為15公里(其中小王的行車里程不超過5公里).如果行駛時間均為 20分鐘,那么這兩輛專車此次的行駛路程各為多少公里?

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