如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知矩形OACB的邊OA,OB分別在x軸上和y軸上,線段OA,OB的長分別是一元二次方程x2-18x+72=0的兩個根,且OA>OB;點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA邊勻速移動,點(diǎn)M從點(diǎn)B開始沿BO邊勻速移動.如果點(diǎn)P,點(diǎn)M同時出發(fā),它們移動的速度相同,設(shè)OP=x(0≤x≤6),設(shè)△POM的面積為y.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)連接矩形的對角線AB,當(dāng)x為何值時,以P,O,M為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似;
(3)當(dāng)△POM的面積最大時,將△POM沿PM所在直線翻折后得到△PDM,試判斷D點(diǎn)是否在矩形的對角線AB精英家教網(wǎng)上,請說明理由.
分析:(1)先解一元二次方程,求出OA、OB的值,再利用三角形的面積公式,可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式.
(2)主要考慮兩種情況,就是兩條直角邊互換對應(yīng)邊.
(3)△POM面積最大,根據(jù)(1)中的函數(shù)式可求出x的值,由此得到OP的值,從而可知四邊形MOPD是正方形,那么DM=3,若D在AB上,利用比例線段可求出DM=6,所以可以知道D不在AB上.
解答:解:(1)解二次方程x2-18x+72=0得,x1=6,x2=12,根據(jù)題意知,OA=12,OB=6.
S△POM=
1
2
×OM×OP=
1
2
×(6-x)•x=-
1
2
x2+3x,
即y=-
1
2
x2+3x.

(2)主要考慮有兩種情況,一種是△MOP∽△BOA,
那么有
OP
OA
=
OM
OB
,即,
x
12
=
6-x
6
,解得,x=4;
一種是△POM∽△BOA,
那么有
OP
OB
=
OM
OA
,即,
x
6
=
6-x
12
,解得,x=2,
所以當(dāng)x=2或x=4時,以P、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似.

(3)由(1)得,y=-
1
2
x2+3x,可以知道,當(dāng)x=-
b
2a
=3時,y有最大值.
即OP=3,
∵OP=3,精英家教網(wǎng)
∴OM=6-x=3,
∴△MOP是等腰直角三角形.根據(jù)題意,
以對角線MP為對稱軸得到△MDP與△MOP全等,且四邊形MOPD是正方形,
所以DM=3,MD∥OA,
若D在對角線AB上,必須有
BM
OB
=
DM
OA
,
即,DM=
BM
OB
×OA=
3
6
×12=6,
∵DM=6≠3,
∴點(diǎn)D不在對角線AB上.
點(diǎn)評:本題利用了解一元二次方程,三角形的面積公式,相似三角形的性質(zhì),正方形的判定,平行線分線段成比例性質(zhì)等知識.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個動點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長為
5
5

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動,路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時,請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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