Question

如圖，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)n度后得到△EDC，此時點D在AB邊上，斜邊DE交AC邊于點F，則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為(     )

A．30，2       B．60，2       C．60，   D．60，

Answer 1

C【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．

【專題】壓軸題．

【分析】先根據(jù)已知條件求出AC的長及∠B的度數(shù)，再根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定定理判斷出△BCD的形狀，進(jìn)而得出∠DCF的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)可判斷出DF是△ABC的中位線，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，

∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2，AB=2BC=4，

∵△EDC是△ABC旋轉(zhuǎn)而成，

∴BC=CD=BD=AB=2，

∵∠B=60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠BCD=60°，

∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∵BD=AB=2，

∴DF是△ABC的中位線，

∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2=，

∴S_陰影=DF×CF=×=．

故選C．

【點評】本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理及三角形的面積公式，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵，即：

①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．