Question

（2009•新洲區(qū)模擬）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC‖弦AD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若過點D作DE⊥AB于E交AC于P，試求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證DC是⊙O的切線只要證得∠ODC=90°即可；
（2）證得△OBC∽△AED根據(jù)相似比不難求得PD：ED的值．
解答：（1）證明：連接OD，BD；
∵OC∥弦AD，
∴∠BOC=∠A，∠ADO=DOC．
∵OA=OD，
∴∠A=∠COD．
∴∠COD=∠BOC．
∵OC=OC，OB=OD，
∴△OCD≌△OCB．
∴∠B=∠ODC=90°．
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：∵BC是⊙O的切線，
∴∠OBC=90°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∴∠OBC=∠AED．
∵OC∥弦AD，
∴∠BOC=∠EAD．
∴△OBC∽△AED．
∴BC：DE=OB：AE．
∵PE∥BC，
∴△ABC∽△AEP．
∴BC：EP=AB：AE．
∵AB=2OB，
∴DE=2PE．
∴PD=PE．
∴PD：ED=1：2．
點評：（1）本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．（2）求兩條線段的比值時，如果根據(jù)已知條件不能求出它們的具體長度，一般應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)，巧妙應(yīng)用題目中已知線段的倍分關(guān)系，將所求比轉(zhuǎn)化．