【題目】如圖(1),平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=﹣x+1的圖象與y軸交于點A,點B是第二象限一次函數(shù)y=﹣x+1的圖象上一點,且SOAB=3,點C的坐標為(﹣2,﹣3).

(1)求A,B的坐標;
(2)如圖(1)若點D是線段BC上一點,且三角形ABD的面積是三角形ABC的一半,求△ABC的面積和點D的坐標;
(3)在(2)的條件下,如圖(2),將線段AC沿直線AB平移,點A的對應點為A1 , 點C的對應點為C1 , 連接A1D,C1D,當△A1C1D直角三角形時,求A1的坐標.

【答案】
(1)解:∵一次函數(shù)y=﹣x+1的圖象與y軸交于點A,

∴當x=0時,y=1,

∴點A的坐標為(0,1),

∴OA=1

∵SOAB=3,

|xB|OA=3,

∴|xB|=6,

∵點B是第二象限一次函數(shù)y=﹣x+1的圖象上一點,

∴B的橫坐標為:﹣6,

則y=﹣(﹣6)+1=7,

∴點B的坐標為:(﹣6,7)


(2)解:如圖1,過點B作BE⊥x軸,過點C作CF⊥y軸于點F,交BE于點E,

∵點C的坐標為(﹣2,﹣3),

∴BE=10,EF=6,EC=4,CF=2,AF=4,

∴SABC=S梯形ABEF﹣SACF﹣SBEC= ×(4+10)×6﹣ ×4×2﹣ ×10×4=18;

∵點D是線段BC上一點,且三角形ABD的面積是三角形ABC的一半,

∴點D是BC的中點,

∴點D的坐標為:(﹣4,2)


(3)解:如圖2,∵A(0,1),C(﹣2,﹣3),

∴由平移可知:點C是點A向左平移2個單位,再向下平移4個單位所得,

設A1(x,﹣x+1),則C1(x﹣2,﹣x+1﹣4),即(x﹣2,﹣x﹣3),

當△A1C1D直角三角形時,分三種情況:

①當∠DA1C1=90°時,如圖2,由勾股定理得: = ,

∴(x+4)2+(﹣x+1﹣2)2+(x﹣2﹣x)2+(﹣x﹣3+x﹣1)2=(x﹣2+4)2+(﹣x﹣3﹣2)2

解得:x=2,

∴A1(2,﹣1);

②當∠A1C1D=90°時,如圖3,由勾股定理得: ,

∴(x﹣2﹣x)2+(﹣x﹣3+x﹣1)2+(x﹣2+4)2+(﹣x﹣3﹣2)2=(x+4)2+(﹣x+1﹣2)2,

解得:x=﹣8,

∴A1(﹣8,9);

③當∠A1DC1=90°時,如圖4和圖5,由勾股定理得:A1D2+C1D2=A1C12,

∴(x+4)2+(﹣x+1﹣2)2+(x﹣2+4)2+(﹣x﹣3﹣2)2=(x﹣2﹣x)2+(﹣x﹣3+x﹣1)2,

2x2+12x+13=0,

解得:x= ,

∴A1 )或( , );

綜上所述,點A1的坐標為:(2,﹣1)或(﹣8,9)或( )或( ,


【解析】①一次函數(shù)y=﹣x+1的圖象與y軸交于點A,求出點A的坐標為(0,1),點B是第二象限一次函數(shù)y=﹣x+1的圖象上一點,得到B的橫坐標為﹣6,求出點B的坐標為:(﹣6,7);②過點B作BE⊥x軸,過點C作CF⊥y軸于點F,交BE于點E,點C的坐標為(﹣2,﹣3),求出BE=10,EF=6,EC=4,CF=2,AF=4,SABC=S梯形ABEF﹣SACF﹣S△BEC=18,求出點D的坐標為:(﹣4,2);③由平移可知:點C是點A向左平移2個單位,再向下平移4個單位所得,當△A1C1D直角三角形時,分三種情況當∠DA1C1=90°時,如圖2,由勾股定理得: A 1 D 2 + A 1 C 1 2 = D C 1 2 ,求出A1(2,﹣1);當∠A1C1D=90°時,由勾股定理得x=﹣8,得到A1(﹣8,9);當∠A1DC1=90°時,由勾股定理求出x的值,得到A1的坐標.

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