Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，－3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點.

（1）求這個二次函數(shù)的表達式．

（2）連結(jié)PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POPC， 那么是否存在點P，使四邊形POPC為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）當點P運動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大并求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積.

 

Answer 1

【答案】

（1）將B、C兩點的坐標代入得……1分 

解得：       ……2分                             

所以二次函數(shù)的表達式為：     ………3分

（2）存在點P，使四邊形POPC為菱形．

設P點坐標為（x，）， ………4分

PP交CO于E

若四邊形POPC是菱形，

則有PC＝PO．        ………5分

連結(jié)PP 則PE⊥CO于E，

∴OE=EC=  ∴=．

∴=       ………6分

解得=，=（不合題意，舍去）

∴P點的坐標為

（，）      ………7分

（3）過點P作軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，

設P（x，），    ………8分

易得，直線BC的解析式為

則Q點的坐標為（x，x－3）.

   ………9分

=

當時，四邊形ABPC的面積最大

此時P點的坐標為，四邊形ABPC的面積    ………10分

【解析】（1）將B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數(shù)的值；

（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，據(jù)此可求出P點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標；

（3）由于△ABC的面積為定值，當四邊形ABPC的面積最大時，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設出P點的橫坐標，然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點橫坐標的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關(guān)于四邊形ACPB的面積與P點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應的P點坐標