Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上， cm， OC=8cm，現(xiàn)有兩動點P、Q分別從O、C同時出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度勻速運動，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度勻速運動．設運動時間為t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面積S；

（2）求證：四邊形OPBQ的面積是一個定值，并求出這個定值；

（3）當△OPQ與△PAB和△QPB相似時，拋物線經(jīng)過B、P兩點，過線段BP上一動點M作軸的平行線交拋物線于N，當線段MN的長取最大值時，求直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比．

 

Answer 1

解：(1) ∵CQ＝t，OP=t，CO=8    ∴OQ=8－t

∴S_△OPQ＝（0＜t＜8）

(2) ∵S_{四邊形OPBQ}＝S_矩形ABCD－S_△PAB－S_△CBQ

＝＝32   

∴四邊形OPBQ的面積為一個定值，且等于32       

（3）當△OPQ與△PAB和△QPB相似時, △QPB必須是一個直角三角形，依題意只能是∠QPB＝90°

    又∵BQ與AO不平行    ∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ

∴根據(jù)相似三角形的對應關系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP

∴解得：t＝4    

經(jīng)檢驗：t＝4是方程的解且符合題意（從邊長關系和速度）

此時P（，0）

∵B（，8）且拋物線經(jīng)過B、P兩點，

∴拋物線是，直線BP是：

設M（m, ）、N(m，)

∵M在BP上運動   ∴

∵與交于P、B兩點且拋物線的頂點是P

∴當時，            

∴＝  ∴當時，MN有最大值是2

∴設MN與BQ交于H 點則、

∴S_△BHM＝＝

∴S_△BHM ：S_{五邊形QOPMH}＝＝3:29

∴當MN取最大值時兩部分面積之比是3：29．