【題目】數(shù)學活動

(1)情境觀察

將矩形紙片ABCD沿對角線AC剪開,得到△ABC和△A′C′D,如圖23-1所示.將△A′C′D的頂點A′與點A重合,并繞點A(A′)按逆時針方向旋轉,使點D、A(A′)、B在同一條直線上,如圖23-2所示.

觀察圖23-2可知:與BC相等的線段是 ,∠CAC′= 度.

(2)問題探究

如圖23-3,△ABC中,AG⊥BC于點G,以A為直角頂點,分別以AB、AC為直角邊,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,過點E、F作射線GA的垂線,垂足分別為P、Q. 試探究EP與FQ之間的數(shù)量關系,并證明你的結論.

(3)拓展延伸

如圖23-4,△ABC中,AG⊥BC于點G,分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射線GA交EF于點H. 若AB=k·AE,AC=k·AF,試探究HE與HF之間的數(shù)量關系,并說明理由.

【答案】(1DA,90;(2FQ=EP;證明如下;(3HE=HF,理由如下.

【解析】解:(1)如圖2,由旋轉的性質可知,△ABC≌△A′C′D,

∴BC=A′D,∠ACB=∠C′AD,又∠ACB+∠CAB=90°,

∴∠C′AD+∠CAB=90°,即∠CAC′=90°,

故答案為:A′D;=90°

2EP=FQ,

證明:∵△ABE是等腰直角三角形,

∴∠EAB=90°,即∠EAP+∠BAG=90°,又∠ABG+∠BAG=90°

∴∠EAP=∠ABG,

△APE△BGA中,

,

∴△APE≌△BGA,

∴EP=AG

同理,FQ=AG

∴EP=FQ;

3HE=HF,

證明:作EP⊥GAGA的延長線于P,作FQ⊥GAGA的延長線于Q

四邊形ABME是矩形,

∴∠EAB=90°,即∠EAP+∠BAG=90°,又∠ABG+∠BAG=90°,

∴∠EAP=∠ABG,又∠APE=∠BGA=90°

∴△APE∽△BGA,

=,即AG=kEP

同理△AQF∽△CGA,

=k,即AG=kFQ,

∴EP=FQ

∵EP⊥GA,FQ⊥GA,

∴EP∥FQ,又EP=FQ

∴HE=HF

練習冊系列答案
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(1)求證:AE=DF;
(2)當四邊形BFDE是矩形時,求t的值;
(3)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應的t值;如果不能,說明理由.

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