Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0）、C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)M（3，n），求使MN+MD取最小值時(shí)n的值．

Answer 1

【答案】（1）y═﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）P（，）；（3）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法，以及點(diǎn)A（﹣1，0）、C（2，3）即可求得二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式；

（2）過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H，設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），，則點(diǎn)Q（m，m+1），則可求得線段PQ=﹣（m﹣）2+，最后由圖示以及三角形的面積公式表示出△APC 的面積，由二次函數(shù)最值的求法可知△APC的面積的最大值；

（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短過點(diǎn)N作與直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接DN′，，當(dāng)M（3，n）在直線DN′上時(shí)，MN+MD的值最小.

（1）∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，

解得：b=2，c=3．

∴拋物線的解析式為y═﹣x2+2x+3．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b．

∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得，解得k=1，b=1．

∴直線AC的解析式為y=x+1．

（2）如圖，

設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+2m+3），

∴Q（m，m+1），

∴PQ=（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+，

∴S△APC=PQ×|xC﹣xA|

= [﹣（m﹣）2+]×3=﹣（m﹣）2+，

∴當(dāng)m=時(shí)，S△APC最大=，y=﹣m2+2m+3=，

∴P（，）；

（3）如圖1所示，過點(diǎn)N作與直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接DN′，交直線x=3與點(diǎn)M．

∵當(dāng)x=0時(shí)y═3，

∴N（0，3）．

∵點(diǎn)N與點(diǎn)N′關(guān)于x=3對(duì)稱，

∴N′（6，3）．

∵y═﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）．

設(shè)DN的解析式為y=kx+b．

將點(diǎn)N′與點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：，

解得：k=﹣，b=．

∴直線DN′的解析式為y=﹣x+．

當(dāng)x=3時(shí)，n=+=．