【題目】如圖1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作發(fā)現(xiàn)
如圖2,固定△ABC,使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí),填空:
①線(xiàn)段DE與AC的位置關(guān)系是_________;
②設(shè)△BDC的面積為S1,△AEC的面積為S2,則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是____________.
(2)猜想論證
當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí),小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立,并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高,請(qǐng)你證明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,點(diǎn)D是其角平分線(xiàn)上一點(diǎn),BD=CD=4,DE//AB交BC于點(diǎn)E(如圖4).若在射線(xiàn)BA上存在點(diǎn)F,使,請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的BF的長(zhǎng).
【答案】(1)①DE∥AC;②S1=S2;(2)證明見(jiàn)解析;(3)BF的長(zhǎng)為或.
【解析】試題分析:(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD,然后求出△ACD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60°,然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線(xiàn)平行解答;
②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD,再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB,然后求出AC=BD,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面積相等證明;
(3)過(guò)點(diǎn)D作DF1∥BE,求出四邊形BEDF1是菱形,根據(jù)菱形的對(duì)邊相等可得BE=DF1,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)F1為所求的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DF2⊥BD,求出∠F1DF2=60°,從而得到△DF1F2是等邊三角形,然后求出DF1=DF2,再求出∠CDF1=∠CDF2,利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等,根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn),然后在等腰△BDE中求出BE的長(zhǎng),即可得解.
解:(1)①∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上,
∴AC=CD,
∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°,
∴△ACD是等邊三角形,
∴∠ACD=60°,
又∵∠CDE=∠BAC=60°,
∴∠ACD=∠CDE,
∴DE∥AC;
②∵∠B=30°,∠C=90°,
∴CD=AC=AB,
∴BD=AD=AC,
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),△ACD的邊AC、AD上的高相等,
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),
即S1=S2;
故答案為:DE∥AC;S1=S2;
(2)如圖,∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到,
∴BC=CE,AC=CD,
∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°,
∴∠ACN=∠DCM,
∵在△ACN和△DCM中,
,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),
即S1=S2;
(3)如圖,過(guò)點(diǎn)D作DF1∥BE,易求四邊形BEDF1是菱形,
所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,
此時(shí)S△DCF1=S△BDE;
過(guò)點(diǎn)D作DF2⊥BD,
∵∠ABC=60°,F1D∥BE,
∴∠F2F1D=∠ABC=60°,
∵BF1=DF1,∠F1BD=∠ABC=30°,∠F2DB=90°,
∴∠F1DF2=∠ABC=60°,
∴△DF1F2是等邊三角形,
∴DF1=DF2,
∵BD=CD,∠ABC=60°,點(diǎn)D是角平分線(xiàn)上一點(diǎn),
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°,
∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°,
∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°,
∴∠CDF1=∠CDF2,
∵在△CDF1和△CDF2中,
,
∴△CDF1≌△CDF2(SAS),
∴點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn),
∵∠ABC=60°,點(diǎn)D是角平分線(xiàn)上一點(diǎn),DE∥AB,
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°,
又∵BD=4,
∴BE=×4÷cos30°=2÷=,
∴BF1=,BF2=BF1+F1F2=+=,
故BF的長(zhǎng)為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖(1),AB∥CD,點(diǎn)P在AB,CD外部,若∠B=50°,∠D=25°,則∠BPD= °
(2)如圖(2),AB∥CD,點(diǎn)P在AB,CD內(nèi)部,則∠B,∠D,∠BPD之間有何數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論.
(3)在圖(2)中,將直線(xiàn)AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線(xiàn)CD于點(diǎn)M,如圖(3),若∠BPD=90°,∠BMD=40°,求∠B+∠D的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD,BE相交于點(diǎn)M,連接CM.
(1)求證:BE=AD;
(2)用含α的式子表示∠AMB的度數(shù);
(3)當(dāng)α=90°時(shí),取AD,BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P,Q,連接CP,CQ,PQ,如圖②,判斷△CPQ的形狀,并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,O是邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的中心,將一塊半徑足夠長(zhǎng)、圓心為直角的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處,并將紙板的圓心繞O旋轉(zhuǎn),則正方形ABCD被紙板覆蓋部分的面積為( 。
A. a2 B. a2 C. a2 D. a
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“2016國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”于5月25日至5月29日在貴陽(yáng)舉行.參展內(nèi)容為:A﹣經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展;B﹣產(chǎn)業(yè)與應(yīng)用;C﹣技術(shù)與趨勢(shì);D﹣安全和隱私保護(hù);E﹣電子商務(wù),共五大板塊,為了解觀(guān)眾對(duì)五大板塊的“關(guān)注情況”,某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖(均不完整),請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)本次隨機(jī)調(diào)查了多少名觀(guān)眾?
(2)請(qǐng)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖,并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“D﹣安全和隱私保護(hù)”所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù).
(3)據(jù)相關(guān)報(bào)道,本次博覽會(huì)共吸引力90000名觀(guān)眾前來(lái)參觀(guān),請(qǐng)估計(jì)關(guān)注“E﹣電子商務(wù)”的人數(shù)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解都為正數(shù).
(1)求的取值范圍;
(2)若上述二元一次方程組的解是一個(gè)等腰三角形的一條腰和一條底邊的長(zhǎng),且這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為9,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果一元一次方程的根是一元一次不等式組的解,則稱(chēng)該一元一次方程為該不等式組的伴隨方程,這個(gè)根在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)該不等式組的伴隨點(diǎn).
(1)在方程①,②,③中,不等式組 的伴隨方程是 ;(填序號(hào))
(2)如圖,M、N都是關(guān)于的不等式組的伴隨點(diǎn),求的取值范圍.
(3)不等式組的伴隨方程的根有且只有2個(gè)整數(shù),求的取值范圍.
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