【題目】在學(xué)習了軸對稱知識之后,數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們對課本習題進行了深入研究,請你跟隨興趣小組的同學(xué),一起完成下列問題.

(1)(課本習題)如圖①,ABC是等邊三角形,BD是中線,延長BCE,使CE=CD 求證:DB=DE

(2)(嘗試變式)如圖②,ABC是等邊三角形,DAC邊上任意一點,延長BCE,使CE=AD

求證:DB=DE

(3)(拓展延伸)如圖③,ABC是等邊三角形,DAC延長線上任意一點,延長BCE,使CE=AD請問DBDE是否相等? 并證明你的結(jié)論.

【答案】1)見詳解;(2)見詳解;(3DB=DE成立,證明見詳解

【解析】

1)由等邊三角形的性質(zhì),得到∠CBD=30°,∠ACB=60°,由CD=CE,則∠E=CDE=30°,得到∠E=CBD=30°,即可得到DB=DE;

2)過點DDGAB,交BC于點G,證明△BDC≌△EDG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論;

3)過點DDFABBEF,由“SAS”可證△BCD≌△EFD,可得DB=DE

證明:(1)∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABC=BCA=60°,

∵點D為線段AC的中點,

BD平分∠ABC,AD=CD,

∴∠CBD=30°,

CD=CE,

∴∠CDE=CED,

又∵∠CDE+CED=BCD,

2CED=60°

∴∠CED=30°=CBD,

DB=DE;

2)過點DDGAB,交BC于點G,如圖,

∴∠DGC=ABC=60°,又∠DCG=60°

∴△DGC為等邊三角形,

DG=GC=CD

BC-GC=AC-CD,即AD=BG

AD=CE,

BG=CE,

BC=GE

BDCEDG中,

,

∴△BDC≌△EDGSAS

BD=DE;

3DB=DE成立,

理由如下:過點DDFABBEF,

∴∠CDF=A,∠CFD=ABC

∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABC=BCA=A=60°,BC=AC=AB

∴∠CDF=CFD=60°=ACB=DCF,

∴△CDF為等邊三角形

CD=DF=CF

AD=CE,

AD-CD=CE-CF

BC=AC=EF,

∵∠BCD=CFD+CDF=120°,

DFE=FCD+FDC=120°

∴∠BCD=DFE,且BC=EF,CD=DF,

∴△BCD≌△EFDSAS

DB=DE

練習冊系列答案
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