Question

已知：如圖，拋物線y=x²+bx+c（b、c為常數(shù)）經(jīng)過原點和E（3，0）．
（1）求該拋物線所對應的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)A是該拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側(cè)的一個動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C．
①當BC=1時，求矩形ABCD的周長；
②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值及此時點A的坐標；如果不存在，請說明理由；
③當B（，0）時，x軸上是否存在兩點P、Q（點P在點Q的左邊），使得四邊形PQDA是菱形？若存在，請求出符合條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：
（1）由已知條件，得：

解得：
∴所求的函數(shù)關(guān)系式為y=x²-3x

（2）①由y=x²-3x，令y=0，
得x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3；
∴拋物線與x軸的另一個交點為（3，0）
∴它的頂點為（，-），對稱軸為直線x=
∵BC=1，由拋物線和矩形的對稱性易知OB=（3-1）=1
∴B（1，0）
∴點A的橫坐標x=1，又點A在拋物線y=x²-3x上，
∴點A的縱坐標y=1²-3×1=-2．
∴AB=|y|=2
∴矩形ABCD的周長為：2（AB+BC）=6
②∵點A在拋物線y=x²-3x上，可以設(shè)A點的坐標為（x，x²-3x），
∴B點的坐標為（x，0）．（0＜x＜）
∴BC=3-2x，A在x軸的下方，
∴x²-3x＜0
∴AB=|x²-3x|=3x-x²
∴矩形ABCD的周長P=2[（3x-x²）+（3-2x）]=-2（x-）²+

∵a=-2＜0，
∴當x=時，矩形ABCD的周長P最大值是，
此時點A的坐標是（，）
③當B（，0）時，A（，），D（，），
且AD∥PQ．要使四邊形PQDA是菱形，則需PA=PQ=AD=2，
有兩種情況，當點P在AB的左側(cè)時，
PB===
而B（，0）
∴P（，0），此時Q（，0）
當點P在點B的右側(cè)時，同理可得此時P（，0），Q（，0）
綜上所述，存在滿足條件的P、Q兩點．點P的坐標為（，0）或（，0）．
分析：（1）把原點及E的坐標分別代入函數(shù)關(guān)系式即可求出未知數(shù)的值，從而求出函數(shù)的解析式．
（2）
①根據(jù)二次函數(shù)解析式，求出與x軸0的交點坐標及拋物線對稱軸，根據(jù)拋物線和矩形的對稱性求出B點坐標，因為AB∥y軸，所以可知A、B橫坐標相同，將B點橫坐標代入解析式可以求出A點縱坐標，A、B兩點縱標之差的絕對值即為AB的長，易求得矩形ABCD的周長；
②因為AB∥y軸，所以可知A、B橫坐標相同，設(shè)B點橫坐標為x，代入解析式可以求出A點縱坐標表達式，再根據(jù)拋物線和矩形的對稱性，求出BC的長度表達式，然后將周長最值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)的最值問題解答；
③分點P在AB的左側(cè)和點P在點B的右側(cè)兩種情況解答．先假設(shè)該圖形存在，根據(jù)菱形的性質(zhì)和圖形上點的坐標特點求出滿足條件的P、Q兩點．
點評：此題將拋物線和矩形菱形的周長和面積問題相結(jié)合，是一道中考壓軸題．解答時要根據(jù)圖形上點的坐標特點建立相應表達式，特別是（2）充分利用圖形特點，轉(zhuǎn)化為關(guān)于二次函數(shù)的最值問題解答．