Question

15．如圖，AB為⊙O的直徑，F(xiàn)為弦AC的中點(diǎn)，連接OF并延長交$\widehat{AC}$于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BA的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：AC∥DE；
（2）連接CD，若OA=AE=a，寫出求四邊形ACDE面積的思路．

Answer 1

分析 （1）欲證明AC∥DE，只要證明AC⊥OD，ED⊥OD即可．
（2）作DM⊥OA于M，連接CD，CO，AD，首先證明四邊形ACDE是平行四邊形，根據(jù)S_{平行四邊形ACDE}=AE•DM，只要求出DM即可．

解答 （1）證明：∵ED與⊙O相切于D，
∴OD⊥DE，
∵F為弦AC中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，
∴AC∥DE．
（2）解：作DM⊥OA于M，連接CD，CO，AD．
首先證明四邊形ACDE是平行四邊形，根據(jù)S_{平行四邊形ACDE}=AE•DM，只要求出DM即可．（方法二：證明△ADE的面積等于四邊形ACDE的面積的一半）
∵AC∥DE，AE=AO，
∴OF=DF，
∵AF⊥DO，
∴AD=AO，
∴AD=AO=OD，
∴△ADO是等邊三角形，同理△CDO也是等邊三角形，
∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DO=a，
∴AO∥CD，又AE=CD，
∴四邊形ACDE是平行四邊形，易知DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴平行四邊形ACDE面積=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用特殊三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．