Question

在長方形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，與此同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)C時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）填空：BQ=______，PB=______（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)t為何值時，PQ的長度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五邊形APQCD的面積等于26cm²？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，
∴AP=tcm，
∵AB=5cm，
∴PB=（5-t）cm，
∵點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，
∴BQ=2tcm；

（2）由題意得：（5-t）²+（2t）²=5²，
解得：t₁=0（不合題意舍去），t₂=2；
當(dāng)t=2秒時，PQ的長度等于5cm；

（3）存在t=1秒，能夠使得五邊形APQCD的面積等于26cm²．理由如下：
長方形ABCD的面積是：5×6=30（cm²），
使得五邊形APQCD的面積等于26cm²，則△PBQ的面積為30-26=4（cm²），
（5-t）×2t×=4，
解得：t₁=4（不合題意舍去），t₂=1．
即當(dāng)t=1秒時，使得五邊形APQCD的面積等于26cm²．
分析：（1）根據(jù)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動速度可得BQ、PB的長度；
（2）根據(jù)勾股定理可得PB²+BQ²=QP²，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)解方程即可；
（3）根據(jù)題意可得△PBQ的面積為長方形ABCD的面積減去五邊形APQCD的面積，再根據(jù)三角形的面積公式代入相應(yīng)線段的長即可得到方程，再解方程即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是表示出BQ、PB的長度．