Question

6．如圖，拋物線y=-x²+4x+2的頂點為D，E（4，m）在拋物線上，點Q在x軸上，點P在拋物線上，當以D，E，P，Q為頂點的四邊形是以DE為邊的平行四邊形時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 求得D、E的坐標，根據(jù)題意P的縱坐標為D和E的縱坐標的差，把縱坐標代入拋物線的解析式即可求得P的坐標．

解答 解：作EF∥x軸，DF⊥EF于F，
∵y=-x²+4x+2=-（x-2）²+6，
∴頂點D的坐標（2，6），
∵E（4，m）在拋物線上，
∴m=-4²+4×4+2=2，
∴E（4，2），
∴DF=6-2=4，EF=4-2=2，
∵點Q在x軸上，點P在拋物線上，以D，E，P，Q為頂點的四邊形是以DE為邊的平行四邊形，
∴P的縱坐標為±4，
把y=4代入y=-x²+4x+2得，4=-x²+4x+2，
解得x=2±$\sqrt{2}$；
把y=-4代入y=-x²+4x+2得，-4=-x²+4x+2，
解得x=2±$\sqrt{10}$；
∴P的坐標為（2+$\sqrt{2}$，4）或（2-$\sqrt{2}$，4）或（2+$\sqrt{10}$，-4）或（2-$\sqrt{10}$，-4）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，以及平行四邊形的性質等，綜合性較強，難度較大．