Question

【題目】如圖（1），某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P,此時(shí)PA· PB=PC·PD

（1）如圖（2），若AB與CD相交于圓外一點(diǎn)P, 上面的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．

（2）如圖（3）,將PD繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與⊙O相切于點(diǎn)C, 直接寫出PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系．

（3）如圖（3），直接利用（2）的結(jié)論，求當(dāng) PC= ,PA=1時(shí),陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）成立，理由見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接AD、BC，得到∠D=∠B，可證△PAD∽△PCB，即可求解；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論即可求解；

（3）連接OC，根據(jù) ,PC= ,PA=1求出PB=3 , AO=CO=1，PO=2 利用,得到AOC為等邊三角形，再分別求出，即可求解.

解：（1）成立

理由如下：如圖，連接AD、BC

則∠D=∠B

∵∠P=∠P

∴△PAD∽△PCB

∴=

∴PA· PB=PC·PD

(2)當(dāng)PD與⊙O相切于點(diǎn)C時(shí)，

PC=PD，

由（1）得PA· PB=PC·PD

∴

(3)如圖，連接OC

,PC= ,PA=1

PB=3 , AO=CO=1，PO=2

PC與 ⊙O相切于點(diǎn)C

PCO為直角三角形

,

AOC為等邊三角形

=

==

=