Question

【題目】如圖,拋物線y=-x2+x+與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo);

(2)若該拋物線的頂點(diǎn)是點(diǎn)D,求四邊形OCDB的面積;

(3)已知點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸的一點(diǎn),若以點(diǎn)P,O,D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).(不用說理)

Answer 1

【答案】(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,0)，點(diǎn)C坐標(biāo)為；(2)；(3)點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,0)或(1,1+)或(1,1-)或(1,-1).

【解析】

(1)令y=0，可得方程-x2+x+=0，解方程求得x的值，即可得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；把x=0代入函數(shù)的解析式求得y的值，即可得拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先求得頂點(diǎn)d的坐標(biāo)，再由四邊形OCDB的面積=△OCD的面積+△OBD的面積即可求得四邊形OCDB的面積；（3）分OD=OP、OD=DP和OP=PD三種情況求點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

(1)當(dāng)y=0時(shí),即-x2+x+=0,

解得x1=3,x2=-1,

又點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),

所以點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,0).

當(dāng)x=0時(shí),y=,

點(diǎn)C坐標(biāo)為.

(2)y=-x2+x+=-(x-1)2+1,

所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,1),

所以四邊形OCDB的面積=△OCD的面積+△OBD的面積=×1+×3×1=.

(3)分三種情況：

①當(dāng)OD=OP時(shí)，如圖1，

P與D關(guān)于x軸對(duì)稱，

∵D（1，1），

∴P（1，-1），

②當(dāng)OD=DP時(shí)，如圖2，

∵D（1，1），

∴OE=DE=1，

∴OD=，

∴PD=OD=，

∴P1（1，1+），P2（1，1-），

③如圖3，

∵D（1，1），

∴當(dāng)P在x軸上時(shí)，OP=PD=1，

∴P（1，0）；

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，1）或（1，1+）或（1，1-）或（1，0）.