【題目】問題探究:
(1)如圖①,已知等邊△ABC,邊長為4,則△ABC的外接圓的半徑長為 .
(2)如圖②,在矩形ABCD中,AB=4,對角線BD與邊BC的夾角為30°,點E在為邊BC上且BE=BC,點P是對角線BD上的一個動點,連接PE,PC,求△PEC周長的最小值.
問題解決:
(3)為了迎接新年的到來,西安城墻舉辦了迎新年大型燈光秀表演.其中一個鐳射燈距城墻30米,鐳射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60°,如圖③,若將兩根光線(AB,AC)和光線與城墻的兩交點的連接的線段(BC)看作一個三角形,記為△ABC,那么該三角形周長有沒有最小值?若有,求出最小值,若沒有,說明理由.
【答案】(1);(2);(3)△ABC的周長最小值為60 .
【解析】
(1)作△ABC外接圓,作直徑AD,連接BD,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠C=60°,根據(jù)圓周角定理求出∠D=∠C=60°,解直角三角形求出AD即可.
(2)△PEC周長的最小實質(zhì)是PE+PC,轉(zhuǎn)化為將軍飲馬模型求出P點,然后利用勾股定理即可求出E′C即可解答,
(3)先由定角定高可知BC的最小值為三角形是等腰三角形AB=AC時,BC最小,而求AB+AC,可以先將A點沿BC方向平移BC,構(gòu)造平行四邊形將AB轉(zhuǎn)化為長,則AB+AC最小轉(zhuǎn)化為AC+CD最小,作A點對稱點A′,連接A′D,與BC交點與C重合,此時BC、AB+AC同時取最小值,即可知三角形周長有沒有最小值.
解:(1)如圖,作三角形外接圓⊙O,作直徑AD,連接BD,
∵等邊△ABC內(nèi)接于⊙O,AD為直徑,
∴∠C=60°=∠D,∠ABD=90°,
∵sin∠D=,
∴AD=
∴⊙0的半徑是.
故答案為;
(2)如圖2,作點E關于BD的對稱點E′,連接E′C交BD于P,連接PE,此時△PEC周長周長最。
連接BE′,過E′作E′H⊥BC,
∵∠DBC=30°,AB=CD=4,
∴BC=4,
又∵BE=BC.
∴BE=
∵點E′是關于BD的對稱點E
∴∠EBH=60°,BE′=BE=,
∴BH=,E′H=,
∴HC=,
∴E′C=
∵△PEC周長=PC+PE+EC=PE′+EC=
(3)如圖3,∵∠BAC=60°,AH=30米,
∴當AB=AC時,邊BC取最小值,
∴此時BC=AC=20,
作ABCD,作A點關于直線BC的對稱點A′,連接A′D,AB+AC=CD+A′C,
當A′,C,D在一條直線上時,AB+AC最小,
此時,△ABC應為等邊三角形,AB+AC=
∵AB+AC和BC的最小值能夠同時取到,
故△ABC的周長最小值為.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過點(﹣1,0),且滿足4a+2b+c>0,有下列結(jié)論:①a+b>0;②﹣a+b+c>0;③b2﹣2ac>5a2.其中,正確結(jié)論的個數(shù)是( 。
A. 0B. 1C. 2D. 3
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【題目】某超市以3元/本的價格購進某種筆記本若干,然后以5元/本的價格出售,每天售出20本.通過調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種筆記本的售價每降低0.1元,每天可多售出4本,為保證每天至少售出50本,該超市決定降價銷售.
(1)若每本降價元,則每天的銷售量是________本(用含的代數(shù)式表示).
(2)要想每天贏利60元,該超市需將每本的售價降低多少元?
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【題目】某校學生食堂共有座位個,某天午餐時,食堂中學生人數(shù)(人)與時間(分鐘)
變化的函數(shù)關系圖象如圖中的折線.
(1)試分別求出當與時,與的函數(shù)關系式;
(2)已知該校學生數(shù)有人,考慮到安全因素,學校決定對剩余名同學延時用餐,即等食堂空閑座位不少于個時,再通知剩余名同學用餐.請結(jié)合圖象分析,這名學生至少要延時多少分鐘?
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【題目】一名在校大學生利用“互聯(lián)網(wǎng)+”自主創(chuàng)業(yè),銷售一種產(chǎn)品,這種產(chǎn)品的成本價10元/件,已知銷售價不低于成本價,且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于16元/件,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量(件與銷售價(元/件)之間的函數(shù)關系如圖所示.
(1)求與之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量的取值范圍;
(2)求每天的銷售利潤W(元與銷售價(元/件)之間的函數(shù)關系式,并求出每件銷售價為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】某市青少年健康研究中心隨機抽取了本市1000名小學生和若干名中學生,對他們的視力狀況進行了調(diào)查,并把調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計圖.(近視程度分為輕度、中度、高度三種)
(1)求這1000名小學生患近視的百分比.
(2)求本次抽查的中學生人數(shù).
(3)該市有中學生8萬人,小學生10萬人.分別估計該市的中學生與小學生患“中度近視”的人數(shù).
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【題目】如圖所示,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A(1,t+1),B(t-5,-1)兩點.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點(c,p)和(n,q)是反比例函數(shù)y=圖象上任意兩點,且滿足c=n+1時,求的值.
(3)若點M(x1,y1)和N(x2,y2)在直線AB(不與A、B重合)上,過M、N兩點分別作y軸的平行線交雙曲線于E、F,已知x1<-3,0<x2<1,當x1x2=-3時,判斷四邊形NFEM的形狀.并說明理由.
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【題目】已知,如圖,二次函數(shù)圖像交軸于,交交軸于點,是拋物線的頂點,對稱軸經(jīng)過軸上的點.
(1)求二次函數(shù)關系式;
(2)對稱軸與交于點,點為對稱軸上一動點.
①求的最小值及取得最小值時點的坐標;
②在①的條件下,把沿著軸向右平移個單位長度時,設與重疊部分面積記為,求與之間的函數(shù)表達式,并求出的最大值.
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【題目】某校為了解本校學生每周參加課外輔導班的情況,隨機調(diào)査了部分學生一周內(nèi)參加課外輔導班的學科數(shù),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖1、圖2所示的兩幅不完整統(tǒng)計圖(其中A:0個學科,B:1個學科,C:2個學科,D:3個學科,E:4個學科或以上),請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息,解答下列問題:
(1)請將圖2的統(tǒng)計圖補充完整;
(2)根據(jù)本次調(diào)查的數(shù)據(jù),每周參加課外輔導班的學科數(shù)的眾數(shù)是 個學科;
(3)若該校共有2000名學生,根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果估計該校全體學生一周內(nèi)參加課外輔導班在3個學科(含3個學科)以上的學生共有 人.
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