【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,已知點F(2 ,0),直角GF交y軸正半軸于點G,且∠GFO=30°.

(1)請直接寫出點G的坐標;
(2)若⊙O的半徑為1,點P是直線GF上的動點,直線PA、PB分別與⊙O相切于點A、B.
①求切線長PB的最小值;
②在直線GF上是否存在點P,使得∠APB=60°?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:∵F(2 ,0),

∴OF=2

∵∠GFO=30°,

∴OG=2,

∴點G的坐標是(0,2)


(2)解:①連接OPOP,如圖,

∵PB切⊙OO于點BB,

∴OB⊥PB,

根據(jù)勾股定理得PB2=OP2﹣OB2

∵OB=1,

∴要使BP的值最小,則需OP的值最小,當OP⊥GF時,線段PO最短,

在Rt△PFO,OF=2 ,∠GFO=30°,

∴OP= ,

∴PB= = = ;

②存在,

∵PA、PB均與⊙O相切,

∴OP平分∠APB,

∵∠APB=60°,

∴∠OPB=30°,

∵OB=1,∴OP=2,

∴點P是以點O為圓心,2為半徑的圓與直線GF的交點,

即圖中的P1、P2兩點,連接OP2

∵OG=2,

∴點P1與點G(0,2)重合,即P1(0,2),

在Rt△GOF中,∠GFO=30°,

∴∠OGF=60°,

∵OG=OP2,

∴△GOP2是等邊三角形,

∴GP2=OG=2,已知GF=4,

∴FP2=2,

∴P2為GF的中點,

∴P2 ,1),

綜上所述,滿足條件的點P的坐標為(0,2)或( ,1).


【解析】(1)由已知條件得到OF=2 ,解直角三角形即可得到結(jié)論;(2)①連接OPOP,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB⊥PB,當OP⊥GF時,線段PO最短,解直角三角形得到OP= ,PB= = =2;
②根據(jù)切線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠OPB=30°,求得OP=2,點P是以點O為圓心,2為半徑的圓與直線GF的交點,由于點P1與點G(0,2)重合,即P1(0,2),推出△GOP2是等邊三角形求得FP2=2,即可得到結(jié)論.

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