Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，A，B是x軸上兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓交y軸于點(diǎn)C，設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線關(guān)系為y=x²-mx+n，若方程x²-mx+n=0兩根倒數(shù)和為-2．
（1）求n的值；
（2）求此拋物線的關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）由題意，設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，n）
∵OA=-x₁，OB=x₂，又CO⊥AB，
∴CO²=AO•OB，
即n²=-x₁x₂；
又∵x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的兩根，
∴x₁•x₂=n，
∴n²=-n，
∴n₁=-1，n₂=0（舍去），
∴n=-1．

（2）∵x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的兩根，
∴x₁+x₂=m．
又∵n=-1，
∴x₁x₂=-1，
∴，
∴m=2，
∴所求拋物線的關(guān)系式為y=x²-2x-1．
分析：（1）由于AB是圓的直徑，根據(jù)相交弦定理的推論可得OC²=OA•OB，若設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），那么n²=-x₁x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知x₁x₂=n，聯(lián)立兩式即可求得n的值．
（2）根據(jù)韋達(dá)定理可求得方程的兩根之和與兩根之積，即可表示出它們的倒數(shù)和，已知了倒數(shù)和為2，即可求得m的值，由此確定拋物線的解析式．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相交弦定理、根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)解析式的確定等知識(shí)，難度適中．