Question

如圖，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圓，∠ADE=90°，延長ED到C使DC=AD，以AD，DC為鄰邊作正方形ABCD，連接AC，連接BE交AC于點H．求證：

（1）AC是⊙O的切線．

（2）HC=2AH．

Answer 1

考點：

切線的判定；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)．

專題：

證明題．

分析：

（1）根據(jù)圓周角定理由∠ADE=90°得AE為⊙O的直徑，再根據(jù)等腰直角三角形得到∠EAD=45°，根據(jù)正方形得到∠DAC=45°，則∠EAC=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）由AB∥CD得△ABH∽△CEH，則AH：CH=AB：ED，根據(jù)等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)易得EC=2AB，則AH：CH=1：2．

解答：

證明：（1）∵∠ADE=90°，

∴AE為⊙O的直徑，

∵△ADE為等腰直角三角形，

∴∠EAD=45°，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠DAC=45°，

∴∠EAC=45°+45°=90°，

∴AC⊥AE，

∴AC是⊙O的切線；

（2）∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB∥CD，

∴△ABH∽△CEH，

∴AH：CH=AB：ED，

∵△ADE為等腰直角三角形，

∴AD=ED，

而AD=AB=DC，

∴EC=2AB，

∴AH：CH=1：2，

即HC=2AH．

點評：

本題考查了切線的判定：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)．