Question

關(guān)于x的方程x²-（k+4）x+k²+4=0，其中k為整數(shù)．
（1）判斷

5

+4是否為該方程的一個根？如果不是，請說明理由；如果是，求出整數(shù)k的值并求出該方程的另一個根；
（2）如果該方程兩個不相等的根均為整數(shù)，求整數(shù)k的值并求出相應(yīng)的整數(shù)根．

Answer 1

（1）如果

5

+4是該方程的一個根，
那么（

5

+4）²-（k+4）（

5

+4）+k²+4=0，
整理得：k²-（

5

+4）k+9+4

5

=0，
∴△=（

5

+4）²-4×（9+4

5

）=-15-8

5

＜0，
∴

5

+4不是該方程的根．

（2）由求根公式得：x=

k+4± 8k-3k2

2

，
∵方程兩個不相等的根均為整數(shù)，
∴8k-3k²應(yīng)該是完全平方數(shù)，
設(shè)8k-3k²=m²（m是整數(shù)），
∴3k²-8k+m²=0，
∴△=64-12m²≥0，即m2≤

16

3

，
∴m²=0，1，4，
如果m²=0，那么8k-3k²=0，得到k=0，原方程有兩個相等的根；
如果m²=1，那么8k-3k²=1，經(jīng)計算此時k不是整數(shù)；
如果m²=4，那么8k-3k²=4，∵k是整數(shù)，∴得到k=2，此時愿方程化為x²-6x+8=0，兩根分別為2，4；
∴當(dāng)k=2時，原方程有兩個不相等的整數(shù)根，分別為2，4．