Question

9．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、C，與y軸交于點(diǎn)B，它的頂點(diǎn)是D，對(duì)稱軸是直線x=-2，且OB=OC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在上述拋物線上，且S_△ACP=S_△BCD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)E在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)B、C、D、E是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為x=-2，可得出b的值，由OB=OC，可用c表示出C點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可得得出結(jié)論；
（2）由拋物線的解析式可找出B、C、D點(diǎn)的坐標(biāo)，找出直線BC的解析式，由點(diǎn)到直線的距離結(jié)合三角形的面積公式可求出S_△BCD，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)（m，-m²-4m+5），結(jié)合面積相等可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）構(gòu)造以B、C、D、E為頂點(diǎn)的平行四邊形，就是在△BCD的基礎(chǔ)上尋找點(diǎn)E，分別以三角形的三條邊為對(duì)角線來討論，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c，對(duì)稱軸是直線x=-2，
∴$-\frac{2×（-1）}=-2$，得b=-4，
∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、C，與y軸交于點(diǎn)B，它的頂點(diǎn)是D，且OB=OC，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，c），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-c，0），
∴0=-（-c）²-4×（-c）+c，
解得c=0（舍去）或c=5，
∴拋物線的解析式是y=-x²-4x+5．
（2）∵拋物線的解析式是y=-x²-4x+5=-（x+2）²+9，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，9）．
令x=0，y=5，即點(diǎn)B（0，5）；
令y=0，-x²-4x+5=0，解得x=-5，或x=1，
即點(diǎn)C（-5，0），點(diǎn)A（1，0）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m²-4m+5），直線BC的解析式為y=kx+5．
∵點(diǎn)C（-5，0）在直線BC上，
∴0=-5k+5，解得：k=1，
即直線BC的解析式為x-y+5=0．
點(diǎn)D（-2，9）到直線BC的距離h=$\frac{|-2-9+5|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=3$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{[0-（-5）]^{2}+（5-0）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
△BCD的面積S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•h=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=15．
點(diǎn)P到直線AC的距離d=|-m²-4m+5|，AC=1-（-5）=6，
△ACP的面積S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•d=3|-m²-4m+5|=15．
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，有-m²-4m+5=5，
解得：m=0，或m=-4，
此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，5）或（-4，5）；
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，有m²+4m-5=5，
解得：m=-2±$\sqrt{14}$，
此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2-$\sqrt{14}$，-5）或（-2+$\sqrt{14}$，-5）．
綜上可知：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）、（-4，5）、（-2-$\sqrt{14}$，-5）和（-2+$\sqrt{14}$，-5）．
（3）點(diǎn)E在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)B、C、D、E是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分三種情況：
①以CD為對(duì)角線時(shí)，如圖1所示．

令線段CD的中點(diǎn)為F，由平行四邊形的性質(zhì)可知：
點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F還是BE的中點(diǎn)．
∵點(diǎn)C（-5，0），點(diǎn)D（-2，9），
∴x_F=$\frac{-5+（-2）}{2}$=-$\frac{7}{2}$，y_F=$\frac{0+9}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（-$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{2}$），
∵點(diǎn)B（0，5），
∴x_E=2×（-$\frac{7}{2}$）-0=-7，y_E=2×$\frac{9}{2}$-5=4，
即此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-7，4）；
②以BC為對(duì)角線，如圖2所示．

令線段BC的中點(diǎn)為F，由平行四邊形的性質(zhì)可知：
點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F還是DE的中點(diǎn)．
∵點(diǎn)B（0，5），點(diǎn)C（-5，0），
∴x_F=$\frac{0+（-5）}{2}$=-$\frac{5}{2}$，y_F=$\frac{5+0}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∵點(diǎn)D（-2，9），
∴x_E=2×（-$\frac{5}{2}$）-（-2）=-3，y_E=2×$\frac{5}{2}$-9=-4，
即此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，-4）；
③以BD為對(duì)角線，如圖3所示．

令線段BD的中點(diǎn)為F，由平行四邊形的性質(zhì)可知：
點(diǎn)F為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F還是CE的中點(diǎn)．
∵點(diǎn)B（0，5），點(diǎn)D（-2，9），
∴x_F=$\frac{0+（-2）}{2}$=-1，y_F$\frac{5+9}{2}$=7，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，7），
∵點(diǎn)C（-5，0），
∴x_E=2×（-1）-（-5）=3，y_E=2×7-0=14，
即此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，14）．
綜上可知：滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（-7，4）、（-3，-4）和（3，14）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解一元二次方程、點(diǎn)到直線的距離、三角形的面積公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）由OB=OC，以c表示出來C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由點(diǎn)到直線的距離結(jié)合三角形的面積公式找出一元二次方程；（3）在△BCD的基礎(chǔ)上構(gòu)造平行四邊形．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大，在作題的過程中細(xì)心計(jì)算即可；（3）部分同學(xué)感覺無處著手，其實(shí)平行四邊形是在△BCD的基礎(chǔ)上構(gòu)造的，分別以三角形的三條邊為對(duì)角線即可解決．