Question

【題目】如圖，等腰直角的斜邊在x軸上且長為4，點C在x軸上方．矩形中，點D、F分別落在x、y軸上，邊長為2，長為4，將等腰直角沿x軸向右平移得等腰直角．

(1)當點與點D重合時，求直線的解析式；

(2)連接，．當線段和線段之和最短時，求矩形和等腰直角重疊部分的面積；

(3)當矩形和等腰直角重疊部分的面積為時，求直線與y軸交點的坐標．(本問直接寫出答案即可)

Answer 1

【答案】(1)；(2)S重合=3；(3)．

【解析】

（1）由OD=2，AB=4可得B′與D重合時，點O為AB中點，根據等腰直角三角形的性質可得OC⊥AB，OC′=OD，即可得A′、C′的坐標，利用待定系數法即可得A′C′的解析式；（2）根據等腰三角形的性質可得點在直線上移動，由點F與點O關于y=2得出可得當點，，在同一條直線上時，最小，根據O、E坐標可得直線OE解析式，即可得出C′坐標，進而可得直線的解析式，可得G點坐標，H點坐標，根據S重合=S△ABC-S△OA′G-S△HDB即可得答案；（3）如圖，設OA′=x，根據S△A′OM+S△B′DN=S△ABC-S重合列方程即可求出x的值，即可得直線與軸交點的坐標．

（1）∵點B′與D重合，OD=2，AB=4，

∴OA=OD=2，

∵△A′B′C′是等腰直角三角形，

∴OC′⊥AB，

∴點C′在y軸上，

∴OC′=OD=2，

∴A′（-2，0），C′（0，2）

設A′C′的解析式為y=kx+b，

∴，

解得：，

∴A′C′的解析式為y=x+2.

（2）如圖，∵△ABC斜邊AB上的高為2，

∴點在直線上移動，

∵點和點關于直線對稱．

∴

∴當點，，在同一條直線上時，最小，即此時取得最小值．

設直線OE的解析式為y=kx,

∵E（2,4），

∴4=2k，

解得k=2，

∴直線OE的解析式為y=2x，

∴，

設直線的解析式為，

把(1，2)代入，得b=1

∴直線的解析式為，

當x=0時，y=1，

∴G（0，1），

∴OG=OA′=1，

∴DH=DB′=AB-OA′-OD=1，

∴重疊部分的面積為：.

（3）如圖，S重合=2.5時，

∴S△A′OM+S△B′DN=S△ABC-S重合=4-2.5=1.5，

設OA′=x，則DB′=2-x(0<x<2)，

∵OA′=OM，DB′=DN，

∴xx+(2-x)2=1.5，

解得：x=，

∴直線與軸交點的坐標為（0，）或（0，）.