Question

把一個含45°角的直角三角板BEF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點B重合，聯(lián)結(jié)DF，點M，N分別為DF，EF的中點，聯(lián)結(jié)MA，MN．
（1）如圖1，點E，F(xiàn)分別在正方形的邊CB，AB上，請判斷MA，MN的數(shù)量關系和位置關系，直接寫出結(jié)論；
（2）如圖2，點E，F(xiàn)分別在正方形的邊CB，AB的延長線上，其他條件不變，那么你在（1）中得到的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）連接DE，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AM=

1

2

DF，再根據(jù)△BEF是等腰直角三角形得出AF=CE，由SAS定理得出△ADF≌△CDE，故DE=DF．再根據(jù)點M，N分別為DF，EF的中點，得出MN是△EFD的中位線，故MN=

1

2

DE，MN∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）連接DE，由直角三角形的性質(zhì)得出MA=

1

2

DF=MD=MF，故∠1=∠3．再由點N是EF的中點，得出MN是△DEF的中位線，所以MN=

1

2

DE，MN∥DE．根據(jù)△BEF是等腰直角三角形可知BF=BF，∠EBF=90°．根據(jù)SAS定理得出△ADF≌△CDE，故DF=DE，∠1=∠2，MA=MN，∠2=∠3．再根據(jù)∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5得出∠3+∠5=90°，由三角形內(nèi)角和定理可知∠6=180°-（∠3+∠5）=90°，故可得出結(jié)論．

解答：（1）解：連接DE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=BC，∠DAB=∠DCE=90°，
∵點M是DF的中點，
∴AM=

1

2

DF．
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴AF=CE，
在△ADF與△CDE中，

AB=CD ∠DAF=∠DCE AF=CE

，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴DE=DF．
∵點M，N分別為DF，EF的中點，
∴MN是△EFD的中位線，
∴MN=

1

2

DE，
∴AM=MN；
∵MN是△EFD的中位線，
∴MN∥DE，
∴∠FMN=∠FDE．
∵AM=MD，
∴∠MAD=∠ADM，
∵∠AMF是△ADM的中位線，
∴∠AMF=2∠ADM．
∵△ADF≌△CDE，
∴∠ADM=∠DEC，
∴∠ADM+∠DEC+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°，
∴MA⊥MN．
∴MA=MN，MA⊥MN．

（2）成立．
理由：連接DE．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°．
在Rt△ADF中，
∵點M是DF的中點，
∴MA=

1

2

DF=MD=MF，
∴∠1=∠3．
∵點N是EF的中點，
∴MN是△DEF的中位線，
∴MN=

1

2

DE，MN∥DE．
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=BF，∠EBF=90°．
∵點E、F分別在正方形CB、AB的延長線上，
∴AB+BF=CB+BE，即AF=CE．
在△ADF與△CDE中，
∵

AD=CD ∠DAF=∠DCE AF=DE

∴△ADF≌△CDE，
∴DF=DE，∠1=∠2，
∴MA=MN，∠2=∠3．
∵∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5，
∴∠3+∠5=90°，
∴∠6=180°-（∠3+∠5）=90°，
∴∠7=∠6=90°，MA⊥MN．

點評：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，難度較大．